设函数 y = y(x) 由参数方程 } x = e^t + 1 y = e^t cdot sin t 所确定，求 (dy)/(dx).A. (e^t (sin t + cos t))/(e^t + 1)B. e^t (sin t + cos t)C. e^t (sin t - cos t)D. sin t + cos t

本题考查由参数方程所确定的函数的导数的求法。解题思路是先分别求出$y$关于$t$的导数$\frac{dy}{dt}$和$x$关于$t$的导数$\frac{dx}{dt}$，再根据参数方程求导公式$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$计算$\frac{dy}{dx}$。

步骤一：求$\frac{dy}{dt}$

已知$y = e^t \cdot \sin t$，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = e^t$，$v = \sin t$。
对$u = e^t$求导，根据指数函数求导公式$(e^x)^\prime = e^x$，可得$u^\prime = (e^t)^\prime = e^t$。
对$v = \sin t$求导，根据正弦函数求导公式$(\sin x)^\prime = \cos x$，可得$v^\prime = (\sin t)^\prime = \cos t$。
将$u^\prime$、$v$、$u$、$v^\prime$代入乘积求导法则可得：
$\frac{dy}{dt} = (e^t \cdot \sin t)^\prime = (e^t)^\prime \sin t + e^t (\sin t)^\prime = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t)$

步骤二：求$\frac{dx}{dt}$

已知$x = e^t + 1$，根据加法求导法则$(u+v)^\prime = u^\prime + v^\prime$，其中$u = e^t$，$v = 1$。
对$u = e^t$求导，可得$u^\prime = (e^t)^\prime = e^t$。
对$v = 1$求导，根据常数的导数为$0$，可得$v^\prime = (1)^\prime = 0$。
将$u^\prime$、$v^\prime$代入加法求导法则可得：
$\frac{dx}{dt} = (e^t + 1)^\prime = (e^t)^\prime + (1)^\prime = e^t + 0 = e^t$

步骤三：求$\frac{dy}{dx}$

根据参数方程求导公式$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，将$\frac{dy}{dt} = e^t (\sin t + \cos t)$，$\frac{dx}{dt} = e^t$代入可得：
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^t (\sin t + \cos t)}{e^t} = \sin t + \cos t$