题目
2.设有10件产品,其中有2件次品,现从中任取3件,用X表示其中的次品数-|||-(1)求X的分布律.-|||-(2)求X的分布函数.-|||-(3)求 0lt Xleqslant 2 和 0leqslant Xlt 2 -
题目解答
答案
本题考查概率的计算。
(1)X的可能取值为0,1,2.
$P\{ X=0\} =\frac {C_8^3}{C_{10}^3} =\frac {7}{15} $;
$P\{ X=1\} =\frac {C_2^1C_8^2}{C_{10}^3} =\frac {7}{15} $;
$P\{ X=2\} =\frac {C_2^2C_8^1}{C_{10}^3} =\frac {1}{15} $
因此X的分布律为
(2)X的分布函数为
(3)$P\{ 0\lt X\leqslant 2\} $=P{X=1}+P{X=2}=$\frac{8}{15}$
$P\{ 0\leqslant X\lt 2\} $=P{X=0}+P{X=1}=$\frac{7}{15}$+$\frac{7}{15}$=$\frac{14}{15}$
(1)X的可能取值为0,1,2.
$P\{ X=0\} =\frac {C_8^3}{C_{10}^3} =\frac {7}{15} $;
$P\{ X=1\} =\frac {C_2^1C_8^2}{C_{10}^3} =\frac {7}{15} $;
$P\{ X=2\} =\frac {C_2^2C_8^1}{C_{10}^3} =\frac {1}{15} $
因此X的分布律为
(2)X的分布函数为
(3)$P\{ 0\lt X\leqslant 2\} $=P{X=1}+P{X=2}=$\frac{8}{15}$
$P\{ 0\leqslant X\lt 2\} $=P{X=0}+P{X=1}=$\frac{7}{15}$+$\frac{7}{15}$=$\frac{14}{15}$
解析
步骤 1：确定X的可能取值
X表示从10件产品中任取3件时的次品数，因此X的可能取值为0, 1, 2。
步骤 2：计算X的分布律
- 当X=0时，表示取出的3件产品中没有次品，即从8件正品中取出3件，因此$P\{ X=0\} =\frac {C_8^3}{C_{10}^3} =\frac {7}{15} $。
- 当X=1时，表示取出的3件产品中有1件次品，即从2件次品中取出1件，从8件正品中取出2件，因此$P\{ X=1\} =\frac {C_2^1C_8^2}{C_{10}^3} =\frac {7}{15} $。
- 当X=2时，表示取出的3件产品中有2件次品，即从2件次品中取出2件，从8件正品中取出1件，因此$P\{ X=2\} =\frac {C_2^2C_8^1}{C_{10}^3} =\frac {1}{15} $。
步骤 3：计算X的分布函数
X的分布函数为$F(x)=P\{X\leqslant x\}$，根据X的分布律，可以得到：
- 当$x<0$时，$F(x)=0$；
- 当$0\leqslant x<1$时，$F(x)=P\{X=0\}=\frac{7}{15}$；
- 当$1\leqslant x<2$时，$F(x)=P\{X=0\}+P\{X=1\}=\frac{7}{15}+\frac{7}{15}=\frac{14}{15}$；
- 当$x\geqslant 2$时，$F(x)=P\{X=0\}+P\{X=1\}+P\{X=2\}=\frac{7}{15}+\frac{7}{15}+\frac{1}{15}=1$。
步骤 4：计算$P\{ 0\lt X\leqslant 2\} $和$P\{ 0\leqslant X\lt 2\} $
- $P\{ 0\lt X\leqslant 2\} =P\{X=1\}+P\{X=2\}=\frac{7}{15}+\frac{1}{15}=\frac{8}{15}$；
- $P\{ 0\leqslant X\lt 2\} =P\{X=0\}+P\{X=1\}=\frac{7}{15}+\frac{7}{15}=\frac{14}{15}$。
X表示从10件产品中任取3件时的次品数，因此X的可能取值为0, 1, 2。
步骤 2：计算X的分布律
- 当X=0时，表示取出的3件产品中没有次品，即从8件正品中取出3件，因此$P\{ X=0\} =\frac {C_8^3}{C_{10}^3} =\frac {7}{15} $。
- 当X=1时，表示取出的3件产品中有1件次品，即从2件次品中取出1件，从8件正品中取出2件，因此$P\{ X=1\} =\frac {C_2^1C_8^2}{C_{10}^3} =\frac {7}{15} $。
- 当X=2时，表示取出的3件产品中有2件次品，即从2件次品中取出2件，从8件正品中取出1件，因此$P\{ X=2\} =\frac {C_2^2C_8^1}{C_{10}^3} =\frac {1}{15} $。
步骤 3：计算X的分布函数
X的分布函数为$F(x)=P\{X\leqslant x\}$，根据X的分布律，可以得到：
- 当$x<0$时，$F(x)=0$；
- 当$0\leqslant x<1$时，$F(x)=P\{X=0\}=\frac{7}{15}$；
- 当$1\leqslant x<2$时，$F(x)=P\{X=0\}+P\{X=1\}=\frac{7}{15}+\frac{7}{15}=\frac{14}{15}$；
- 当$x\geqslant 2$时，$F(x)=P\{X=0\}+P\{X=1\}+P\{X=2\}=\frac{7}{15}+\frac{7}{15}+\frac{1}{15}=1$。
步骤 4：计算$P\{ 0\lt X\leqslant 2\} $和$P\{ 0\leqslant X\lt 2\} $
- $P\{ 0\lt X\leqslant 2\} =P\{X=1\}+P\{X=2\}=\frac{7}{15}+\frac{1}{15}=\frac{8}{15}$；
- $P\{ 0\leqslant X\lt 2\} =P\{X=0\}+P\{X=1\}=\frac{7}{15}+\frac{7}{15}=\frac{14}{15}$。