9.设随机变量X~N(1,4)，随机变量Y~U(0,2)，且X和Y独立.令U=2X-3,Y= X+Y. (1)求 E(U),E(V),D(U),D(V);(2)求Cov(U,V),ρ_(UV);(3)判断U和V是否独立? 给出理由.

为了解决这个问题，我们需要使用随机变量的期望值、方差、协方差和相关系数的性质。让我们一步步来解决。 ### 第一步：求 $E(U)$, $E(V)$, $D(U)$, $D(V)$ #### 期望值 1. **求 $E(U)$:** \[ U = 2X - 3Y \] 由于 $X \sim N(1, 4)$ 和 $Y \sim U(0, 2)$，我们有： \[ E(X) = 1 \quad \text{和} \quad E(Y) = \frac{0 + 2}{2} = 1 \] 因此， \[ E(U) = E(2X - 3Y) = 2E(X) - 3E(Y) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \] 2. **求 $E(V)$:** \[ V = X + Y \] 因此， \[ E(V) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 1 + 1 = 2 \] #### 方差 1. **求 $D(U)$:** \[ U = 2X - 3Y \] 由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，我们有： \[ D(U) = D(2X - 3Y) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) = 4D(X) + 9D(Y) \] 已知 $D(X) = 4$ 和 $D(Y) = \frac{(2-0)^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$，我们得到： \[ D(U) = 4 \cdot 4 + 9 \cdot \frac{1}{3} = 16 + 3 = 19 \] 2. **求 $D(V)$:** \[ V = X + Y \] 因此， \[ D(V) = D(X + Y) = D(X) + D(Y) = 4 + \frac{1}{3} = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3} \] ### 第二步：求 $ \text{Cov}(U, V) $ 和 $ \rho_{UV} $ #### 协方差 \[ U = 2X - 3Y \quad \text{和} \quad V = X + Y \] 协方差由下式给出： \[ \text{Cov}(U, V) = \text{Cov}(2X - 3Y, X + Y) = 2\text{Cov}(X, X) + 2\text{Cov}(X, Y) - 3\text{Cov}(Y, X) - 3\text{Cov}(Y, Y) \] 由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，$\text{Cov}(X, Y) = 0$ 和 $\text{Cov}(Y, X) = 0$。因此， \[ \text{Cov}(U, V) = 2\text{Cov}(X, X) - 3\text{Cov}(Y, Y) = 2D(X) - 3D(Y) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 8 - 1 = 7 \] #### 相关系数 相关系数由下式给出： \[ \rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sqrt{D(U)D(V)}} = \frac{7}{\sqrt{19 \cdot \frac{13}{3}}} = \frac{7}{\sqrt{\frac{247}{3}}} = \frac{7}{\frac{\sqrt{741}}{3}} = \frac{21}{\sqrt{741}} = \frac{21\sqrt{741}}{741} = \frac{7\sqrt{741}}{247} \] ### 第三步：判断 $U$ 和 $V$ 是否独立 由于 $U$ 和 $V$ 是两个随机变量的线性组合，且 $X$ 和 $Y$ 是独立的，$U$ 和 $V$ 只有在它们的协方差为零时才独立。然而，我们已经计算出 $\text{Cov}(U, V) = 7 \neq 0$。因此，$U$ 和 $V$ 不是独立的。 ### 最终答案 1. $E(U) = -1$, $E(V) = 2$, $D(U) = 19$, $D(V) = \frac{13}{3}$ 2. $\text{Cov}(U, V) = 7$, $\rho_{UV} = \frac{7\sqrt{741}}{247}$ 3. $U$ 和 $V$ 不是独立的。 \[ \boxed{E(U) = -1, E(V) = 2, D(U) = 19, D(V) = \frac{13}{3}, \text{Cov}(U, V) = 7, \rho_{UV} = \frac{7\sqrt{741}}{247}, \text{U 和 V 不是独立的}} \]