据一个生化制药厂报告，在流水线上每8小时的一个班中破碎的安瓿瓶数服从泊松分布，mu=1.5。问：(1)夜班破碎2个瓶子的概率是多少？(2)在夜班打碎2个以下的瓶子的概率是多少？(3)在早班破碎2个以上的瓶子的概率是多少？(4)在一天连续三个班都没有破碎的瓶子的概率(假设三个班是独立的)？

我们来逐题分析并解答这个关于泊松分布的概率问题。

已知条件：

• 安瓿瓶破碎数服从泊松分布。
• 参数 $\mu = 1.5$，即平均每班（8小时）破碎 1.5 个瓶子。
• 泊松分布的概率质量函数为：

$P(X = k) = \frac{e^{-\mu} \mu^k}{k!}$

其中：

• $X$ 是每班破碎的瓶子数，
• $k = 0, 1, 2, \dots$ 是具体的破碎数量，
• $\mu = 1.5$，
• $e \approx 2.71828$。

(1) 夜班破碎2个瓶子的概率是多少？

即求 $P(X = 2)$

$P(X = 2) = \frac{e^{-1.5} \cdot (1.5)^2}{2!}$

先计算各部分：

• $e^{-1.5} \approx \frac{1}{e^{1.5}} \approx \frac{1}{4.4817} \approx 0.2231$
• $(1.5)^2 = 2.25$
• $2! = 2$

代入：

$P(X = 2) = \frac{0.2231 \times 2.25}{2} = \frac{0.501975}{2} \approx 0.2510$

✅ 答：(1) 夜班破碎2个瓶子的概率约为 $0.251$（即 25.1%）

(2) 在夜班打碎2个以下的瓶子的概率是多少？

“2个以下”即破碎数为 0 或 1，即求 $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$

分别计算：

$P(X = 0)$

$P(X = 0) = \frac{e^{-1.5} \cdot (1.5)^0}{0!} = e^{-1.5} \cdot 1 / 1 \approx 0.2231$

$P(X = 1)$

$P(X = 1) = \frac{e^{-1.5} \cdot (1.5)^1}{1!} = 0.2231 \times 1.5 = 0.33465$

相加：

$P(X < 2) = 0.2231 + 0.33465 = 0.55775$

✅ 答：(2) 夜班打碎2个以下瓶子的概率约为 $0.5578$（即 55.78%）

(3) 在早班破碎2个以上的瓶子的概率是多少？

即求 $P(X > 2)$

注意：
$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

我们前面已经算出：

• $P(X=0) \approx 0.2231$
• $P(X=1) \approx 0.33465$
• $P(X=2) \approx 0.2510$

相加：
$P(X \leq 2) \approx 0.2231 + 0.33465 + 0.2510 = 0.80875$

所以：
$P(X > 2) = 1 - 0.80875 = 0.19125$

✅ 答：(3) 早班破碎2个以上瓶子的概率约为 $0.1913$（即 19.13%）

(4) 在一天连续三个班都没有破碎瓶子的概率（假设三个班独立）？

先求一个班没有破碎瓶子的概率，即 $P(X = 0) \approx 0.2231$

由于三个班相互独立，连续三个班都没有破碎，即：

$P(\text{全无破碎}) = P(X=0)^3 = (0.2231)^3$

计算：

$0.2231^2 \approx 0.04977$
$0.04977 \times 0.2231 \approx 0.01110$

更精确计算：
$0.2231 \times 0.2231 = 0.04977361$
$0.04977361 \times 0.2231 \approx 0.011105$

✅ 答：(4) 一天三个班都无破碎的概率约为 $0.0111$（即 1.11%）

✅ 最终答案总结：

(1) 夜班破碎2个瓶子的概率是
$\boxed{0.251}$

(2) 夜班破碎2个以下瓶子的概率是
$\boxed{0.558}$

(3) 早班破碎2个以上瓶子的概率是
$\boxed{0.191}$

(4) 一天三个班都无破碎瓶子的概率是
$\boxed{0.0111}$

（所有结果保留三位或四位有效数字）