题目

已知E(X)=-2，E(X^2)=5，则D(1-3X)=______。

已知$E(X)=-2$，$E(X^2)=5$，则$D(1-3X)=$______。

题目解答

答案

我们已知：

  • $ E(X) = -2 $
  • $ E(X^2) = 5 $

要求：方差 $ D(1 - 3X) $ 的值。

第一步：回顾方差的性质

方差有如下性质：

  1. $ D(aX + b) = a^2 D(X) $，其中 $ a $、$ b $ 为常数。

注意：常数项 $ b $ 不影响方差，线性变换中只有系数 $ a $ 以平方形式影响方差。

因此：

$D(1 - 3X) = (-3)^2 D(X) = 9 D(X)$

所以我们需要先求出 $ D(X) $。

第二步：利用方差定义求 $ D(X) $

方差的定义是：

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

代入已知数据：

$D(X) = 5 - (-2)^2 = 5 - 4 = 1$

第三步：计算 $ D(1 - 3X) $

$D(1 - 3X) = 9 \cdot D(X) = 9 \cdot 1 = 9$

最终答案：

$\boxed{9}$

解析

本题考查方差的性质以及方差的定义。解题思路是先根据方差的性质将$D(1 - 3X)$转化为与$D(X)$相关的形式，再利用方差的定义求出$D(X)$的值，最后代入计算出$D(1 - 3X)$。

  1. 根据方差性质化简$D(1 - 3X)$
    方差的性质为$D(aX + b) = a^2 D(X)$（其中$a$、$b$为常数）。
    在$D(1 - 3X)$中，$a=-3$，$b = 1$，所以$D(1 - 3X)=(-3)^2D(X)=9D(X)$。
  2. 根据方差定义计算$D(X)$
    方差的定义公式为$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。
    已知$E(X)=-2$，$E(X^2)=5$，将其代入公式可得：
    $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=5-(-2)^2$
    根据指数运算法则$(-2)^2=(-2)\times(-2)=4$，则$D(X)=5 - 4 = 1$。
  3. 计算$D(1 - 3X)$
    将$D(X)=1$代入$D(1 - 3X)=9D(X)$可得：
    $D(1 - 3X)=9\times1 = 9$