题目
8. 大气压强 p(单位:kPa)与海拔h (单位:m) 之间的关系可以由 =(P)_(0)(e)^-kh 近似描-|||-述,其中p0为标准大气压强,k为常数.已知海拔为5000m,8000m两地的大气压-|||-强分别为 54kPa,36kPa.若测得某地的大气压强为80kPa,则该地的海拔约为-|||-(参考数据: lg 2approx 0.301 , lg 3approx 0.477 )-|||-A.295m B.995m C.2085m D.3025m
题目解答
答案
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{54={p}_{0}{e}^{-5000k}}\\{36={p}_{0}{e}^{-8000k}}\end{array}\right.$，
两式相除可得$\frac{3}{2}={e}^{3000k}$，
所以$e^{1000k}=\sqrt{\frac{3}{2}}$，
所以$e^{-1000k}=\frac{2}{\sqrt{6}}$，
令$80={p}_{0}{e}^{-kh}$，
则$80=\frac{2}{\sqrt{6}}{p}_{0}{e}^{-kh}$，
所以$40\sqrt{6}={p}_{0}{e}^{-kh}$，
因为$54={p}_{0}{e}^{-5000k}$，
所以$40\sqrt{6}={e}^{5000k}•40\sqrt{6}$，
所以$e^{1000k}=\sqrt{6}$，
所以$e^{-1000k}=\frac{1}{\sqrt{6}}$，
所以$80={p}_{0}•\frac{1}{\sqrt{6}}$，
所以${p}_{0}=80\sqrt{6}$，
所以$80=80\sqrt{6}{e}^{-kh}$，
所以${e}^{-kh}=\frac{1}{\sqrt{6}}$，
所以$-kh=-\frac{1}{2}ln6$，
所以$h=\frac{ln6}{2k}=\frac{ln6}{2ln{e}^{1000k}}=\frac{ln6}{2ln\sqrt{6}}=\frac{2ln6}{ln6}=2$，
所以该地的海拔约为2000m，
故选：C．
两式相除可得$\frac{3}{2}={e}^{3000k}$，
所以$e^{1000k}=\sqrt{\frac{3}{2}}$，
所以$e^{-1000k}=\frac{2}{\sqrt{6}}$，
令$80={p}_{0}{e}^{-kh}$，
则$80=\frac{2}{\sqrt{6}}{p}_{0}{e}^{-kh}$，
所以$40\sqrt{6}={p}_{0}{e}^{-kh}$，
因为$54={p}_{0}{e}^{-5000k}$，
所以$40\sqrt{6}={e}^{5000k}•40\sqrt{6}$，
所以$e^{1000k}=\sqrt{6}$，
所以$e^{-1000k}=\frac{1}{\sqrt{6}}$，
所以$80={p}_{0}•\frac{1}{\sqrt{6}}$，
所以${p}_{0}=80\sqrt{6}$，
所以$80=80\sqrt{6}{e}^{-kh}$，
所以${e}^{-kh}=\frac{1}{\sqrt{6}}$，
所以$-kh=-\frac{1}{2}ln6$，
所以$h=\frac{ln6}{2k}=\frac{ln6}{2ln{e}^{1000k}}=\frac{ln6}{2ln\sqrt{6}}=\frac{2ln6}{ln6}=2$，
所以该地的海拔约为2000m，
故选：C．
解析
步骤 1：建立方程组
根据题意，海拔为5000m和8000m时的大气压强分别为54kPa和36kPa，可以建立方程组：
$$
\left\{
\begin{array}{l}
54 = {P}_{0}{e}^{-5000k} \\
36 = {P}_{0}{e}^{-8000k}
\end{array}
\right.
$$
步骤 2：求解常数k
将两个方程相除，消去${P}_{0}$，得到：
$$
\frac{54}{36} = \frac{{e}^{-5000k}}{{e}^{-8000k}} = {e}^{3000k}
$$
化简得：
$$
\frac{3}{2} = {e}^{3000k}
$$
取自然对数，得到：
$$
\ln\left(\frac{3}{2}\right) = 3000k
$$
解得：
$$
k = \frac{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}{3000}
$$
步骤 3：求解海拔h
已知某地的大气压强为80kPa，代入公式：
$$
80 = {P}_{0}{e}^{-kh}
$$
将${P}_{0}$用54kPa时的表达式表示，即${P}_{0} = 54{e}^{5000k}$，代入上式：
$$
80 = 54{e}^{5000k}{e}^{-kh} = 54{e}^{(5000-h)k}
$$
化简得：
$$
\frac{80}{54} = {e}^{(5000-h)k}
$$
取自然对数，得到：
$$
\ln\left(\frac{80}{54}\right) = (5000-h)k
$$
将k的值代入，解得：
$$
h = 5000 - \frac{\ln\left(\frac{80}{54}\right)}{k} = 5000 - \frac{\ln\left(\frac{80}{54}\right)}{\frac{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}{3000}}
$$
步骤 4：计算海拔h
计算得：
$$
h = 5000 - \frac{\ln\left(\frac{80}{54}\right)}{\frac{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}{3000}} \approx 2085m
$$
根据题意，海拔为5000m和8000m时的大气压强分别为54kPa和36kPa，可以建立方程组：
$$
\left\{
\begin{array}{l}
54 = {P}_{0}{e}^{-5000k} \\
36 = {P}_{0}{e}^{-8000k}
\end{array}
\right.
$$
步骤 2：求解常数k
将两个方程相除，消去${P}_{0}$，得到：
$$
\frac{54}{36} = \frac{{e}^{-5000k}}{{e}^{-8000k}} = {e}^{3000k}
$$
化简得：
$$
\frac{3}{2} = {e}^{3000k}
$$
取自然对数，得到：
$$
\ln\left(\frac{3}{2}\right) = 3000k
$$
解得：
$$
k = \frac{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}{3000}
$$
步骤 3：求解海拔h
已知某地的大气压强为80kPa，代入公式：
$$
80 = {P}_{0}{e}^{-kh}
$$
将${P}_{0}$用54kPa时的表达式表示，即${P}_{0} = 54{e}^{5000k}$，代入上式：
$$
80 = 54{e}^{5000k}{e}^{-kh} = 54{e}^{(5000-h)k}
$$
化简得：
$$
\frac{80}{54} = {e}^{(5000-h)k}
$$
取自然对数，得到：
$$
\ln\left(\frac{80}{54}\right) = (5000-h)k
$$
将k的值代入，解得：
$$
h = 5000 - \frac{\ln\left(\frac{80}{54}\right)}{k} = 5000 - \frac{\ln\left(\frac{80}{54}\right)}{\frac{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}{3000}}
$$
步骤 4：计算海拔h
计算得：
$$
h = 5000 - \frac{\ln\left(\frac{80}{54}\right)}{\frac{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}{3000}} \approx 2085m
$$