题目
设(X_1,X_2,...,X_n)为总体N(mu,sigma^2)(mu已知)的一个样本，overline(X)为样本均值，则在总体方差sigma^2的下列估计量中，为无偏估计量的是()A. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2B. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2D. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2
设$(X_1,X_2,\cdots,X_n)$为总体$N(\mu,\sigma^2)$($\mu$已知)的一个样本，$\overline{X}$为样本均值，则在总体方差$\sigma^2$的下列估计量中，为无偏估计量的是()
A. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$
B. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$
C. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$
D. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$
题目解答
答案
C. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$
解析
步骤 1：理解无偏估计量的定义
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于方差的估计量，其期望值应等于总体方差 $\sigma^2$。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 给出的估计量为 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$。由于 $\overline{X}$ 是样本均值，它本身是随机变量，因此该估计量的期望值为 $\frac{n-1}{n} \sigma^2$，不是无偏估计量。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 给出的估计量为 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$。该估计量的期望值为 $\sigma^2$，但因为 $\mu$ 已知，使用 $\overline{X}$ 可能引入偏差，因此不是无偏估计量。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 给出的估计量为 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$。由于 $\mu$ 已知，该估计量的期望值为 $\sigma^2$，是无偏估计量。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 给出的估计量为 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$。该估计量的期望值为 $\frac{n}{n-1} \sigma^2$，不是无偏估计量。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于方差的估计量，其期望值应等于总体方差 $\sigma^2$。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 给出的估计量为 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$。由于 $\overline{X}$ 是样本均值，它本身是随机变量，因此该估计量的期望值为 $\frac{n-1}{n} \sigma^2$，不是无偏估计量。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 给出的估计量为 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$。该估计量的期望值为 $\sigma^2$，但因为 $\mu$ 已知，使用 $\overline{X}$ 可能引入偏差，因此不是无偏估计量。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 给出的估计量为 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$。由于 $\mu$ 已知，该估计量的期望值为 $\sigma^2$，是无偏估计量。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 给出的估计量为 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$。该估计量的期望值为 $\frac{n}{n-1} \sigma^2$，不是无偏估计量。