题目
矩阵 } 1 & 2 & -1 2 & -1 & 3 3 & 1 & 2 经过初等行变换化为行最简形后，其秩为 ________。
矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ 经过初等行变换化为行最简形后，其秩为 ________。
题目解答
答案
对矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $ 进行初等行变换：
-
消去第一列：
$ r_2 \leftarrow r_2 - 2r_1 $，$ r_3 \leftarrow r_3 - 3r_1 $，得
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & -5 & 5 \end{pmatrix}$ -
消去第二列：
$ r_3 \leftarrow r_3 - r_2 $，得
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ -
化为行最简形：
$ r_2 \leftarrow \frac{r_2}{-5} $，$ r_1 \leftarrow r_1 - 2r_2 $，得
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
行最简形中非零行数为2，故秩为2。
答案： $\boxed{2}$