均数的数值大小:A. 大于标准差B. 小于标准差C. 可能大于标准差,也可能小于标准差D. 均数大时,标准差也同样会大

本题考查均数和标准差的概念及两者数值大小关系的理解。解题思路是先明确均数和标准差的定义，再通过不同的例子来分析均数和标准差数值大小的各种可能性。

均数和标准差的定义

• 均数：是一组数据的总和除以数据的个数，反映了数据的平均水平。设一组数据为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，则均数$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$。
• 标准差：是用来衡量一组数据的离散程度，计算公式为$s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$。

举例分析

• 情况一：均数大于标准差
  假设有一组数据$1,2,3$。
  • 计算均数$\bar{x}$：
    根据均数公式$\bar{x}=\frac{1 + 2+3}{3}=\frac{6}{3}=2$。
  • 计算标准差$s$：
    先计算$(x_i - \bar{x})^2$的值，$(1 - 2)^2=(-1)^2 = 1$，$(2 - 2)^2=0^2 = 0$，$(3 - 2)^2=1^2 = 1$。
    再根据标准差公式$s=\sqrt{\frac{1+0 + 1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0.82$。
    此时均数$2$大于标准差$0.82$。
• 情况二：均数小于标准差
  假设有一组数据$1,100,100$。
  • 计算均数$\bar{x}$：
    $\bar{x}=\frac{1+100 + 100}{3}=\frac{201}{3}=67$。
  • 计算标准差$s$：
    先计算$(x_i - \bar{x})^2$的值，$(1 - 67)^2=(-66)^2 = 4356$，$(100 - 67)^2=33^2 = 1089$，$(100 - 67)^2=33^2 = 1089$。
    再根据标准差公式$s=\sqrt{\frac{4356+1089 + 1089}{3}}=\sqrt{\frac{6534}{3}}=\sqrt{2178}\approx46.67$。
    此时均数$67$大于标准差$46.67$；若数据为$1,1000,1000$。
  • 计算均数$\bar{x}$：
    $\bar{x}=\frac{1 + 1000+1000}{3}=\frac{2001}{3}=667$。
  • 计算标准差$s$：
    先计算$(x_i - \bar{x})^2$的值，$(1 - 667)^2=(-666)^2 = 443556$，$(1000 - 667)^2=333^2 = 110889$，$(1000 - 667)^2=333^2 = 110889$。
    再根据标准差公式$s=\sqrt{\frac{443556+110889+110889}{3}}=\sqrt{\frac{665334}{3}}=\sqrt{221778}\approx470.93$。
    此时均数$667$小于标准差$470.93$。

所以均数可能大于标准差，也可能小于标准差。