在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的,7 盒是乙厂生产的,4盒是丙厂生产的,其余是丁厂生产的,该四厂的产品合格品率依次为0.8,0.7,0.6, 0.5 , 现任意从某一盒中任取一个元件,经测试发现是不合格品, 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ?

步骤 1：定义事件
设 $A_i$ 表示“所取一盒产品属于第 $i$ 个厂生产”，其中 $i=1,2,3,4$ 分别对应甲、乙、丙、丁厂。
设 $B$ 表示“所取一个元件为不合格品”。

步骤 2：计算各厂生产的盒数概率
$P(A_1) = \dfrac{5}{18}$, $P(A_2) = \dfrac{7}{18}$, $P(A_3) = \dfrac{4}{18}$, $P(A_4) = \dfrac{2}{18}$。

步骤 3：计算各厂生产的不合格品概率
$P(B|A_1) = 0.2$, $P(B|A_2) = 0.3$, $P(B|A_3) = 0.4$, $P(B|A_4) = 0.5$。

步骤 4：应用全概率公式计算 $P(B)$
$P(B) = \sum_{i=1}^{4} P(A_i)P(B|A_i) = \dfrac{5}{18} \times 0.2 + \dfrac{7}{18} \times 0.3 + \dfrac{4}{18} \times 0.4 + \dfrac{2}{18} \times 0.5 = \dfrac{57}{180}$。

步骤 5：应用贝叶斯公式计算 $P(A_i|B)$
$P(A_1|B) = \dfrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{5}{18} \times 0.2}{\dfrac{57}{180}} = \dfrac{10}{57}$,
$P(A_2|B) = \dfrac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{7}{18} \times 0.3}{\dfrac{57}{180}} = \dfrac{21}{57}$,
$P(A_3|B) = \dfrac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{4}{18} \times 0.4}{\dfrac{57}{180}} = \dfrac{16}{57}$,
$P(A_4|B) = \dfrac{P(A_4)P(B|A_4)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{2}{18} \times 0.5}{\dfrac{57}{180}} = \dfrac{10}{57}$。

步骤 6：比较各厂生产的盒数概率
比较 $P(A_1|B)$, $P(A_2|B)$, $P(A_3|B)$, $P(A_4|B)$ 的值，可以看出 $P(A_2|B)$ 最大。