题目
某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的平均长度10.5cm，标准差0.15cm，今从一批产品中随机的抽取9段进行测量，其结果如下：(单位cm)10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.6假定切割的长度服从正态分布,且标准差没有变化,试问该机工作是否正常(显著性水平0.05）
某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的平均长度10.5cm，标准差0.15cm，今从一批产品中随机的抽取9段进行测量，其结果如下：(单位cm)
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.6
假定切割的长度服从正态分布,且标准差没有变化,试问该机工作是否正常(显著性水平
0.05）
题目解答
答案
设切割长度为
，
那么
原假设
：
，备择假设
：
样本均值
，n=9，
∵
Z_{0.025}=1.96" data-width="204" data-height="22" data-size="2676" data-format="png" style="max-width:100%">
∴拒绝原假设，即该机工作不正常.
解析
步骤 1：定义假设
设切割长度为$X$，${\mu}_{0}=10.5$，那么$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$。
原假设$H_{0}$：$\mu=10.5$，备择假设$H_{1}$：$\mu\neq 10.5$。
步骤 2：计算样本均值
样本均值$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\dfrac {1}{9}(10.4+10.6+10.1+10.4+10.5+10.3+10.3+10.2+10.6)=10.38$。
步骤 3：计算检验统计量
检验统计量$z=\dfrac {|\overline {X}-\mu_{0}|}{\dfrac {\sigma}{\sqrt {n}}}=\dfrac {|10.38-10.5|}{\dfrac {0.15}{\sqrt {9}}}=2.4$。
步骤 4：比较检验统计量与临界值
在显著性水平$\alpha=0.05$下，查标准正态分布表得临界值$Z_{0.025}=1.96$。
因为$Z=2.4\gt Z_{0.025}=1.96$，所以拒绝原假设$H_{0}$。
设切割长度为$X$，${\mu}_{0}=10.5$，那么$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$。
原假设$H_{0}$：$\mu=10.5$，备择假设$H_{1}$：$\mu\neq 10.5$。
步骤 2：计算样本均值
样本均值$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\dfrac {1}{9}(10.4+10.6+10.1+10.4+10.5+10.3+10.3+10.2+10.6)=10.38$。
步骤 3：计算检验统计量
检验统计量$z=\dfrac {|\overline {X}-\mu_{0}|}{\dfrac {\sigma}{\sqrt {n}}}=\dfrac {|10.38-10.5|}{\dfrac {0.15}{\sqrt {9}}}=2.4$。
步骤 4：比较检验统计量与临界值
在显著性水平$\alpha=0.05$下，查标准正态分布表得临界值$Z_{0.025}=1.96$。
因为$Z=2.4\gt Z_{0.025}=1.96$，所以拒绝原假设$H_{0}$。