下列极限存在的是（ ）。A. lim_(x to 0) (sin x)/(x) arctan (1)/(x)B. lim_(x to 0) (sin x)/(|x|) arctan (1)/(|x|)C. lim_(x to 0) (|sin x|)/(x) arctan (1)/(x)D. lim_(x to 0) |(sin x)/(x)| arctan (1)/(x)

本题考查函数极限的存在性，解题思路是分别分析每个选项在$x\to0$时的左右极限情况，若左右极限相等，则极限存在，若左右极限不相等，则极限不存在。

选项A

• 当$x\to0^+$时：
  $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$
  根据重要极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，以及当$x\to0^+$时，$\frac{1}{x}\to+\infty$，$\lim_{u \to +\infty} \arctan u = \frac{\pi}{2}$，可得：
  $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}=1\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$
• 当$x\to0^-$时：
  $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$
  同样根据重要极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，当$x\to0^-$时，$\frac{1}{x}\to-\infty$，$\lim_{u \to -\infty} \arctan u = -\frac{\pi}{2}$，可得：
  $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}=1\times(-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}$
  因为$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}\neq\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$不存在。

选项B

• 当$x\to0^+$时：
  $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$
  由前面计算可知$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$。
• 当$x\to0^-$时：
  $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}=\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{-x} \arctan (-\frac{1}{x})$
  因为$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，当$x\to0^-$时，$-\frac{1}{x}\to+\infty$，$\lim_{u \to +\infty} \arctan u = \frac{\pi}{2}$，所以：
  $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{-x} \arctan (-\frac{1}{x})=-1\times\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$
  因为$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}\neq\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{|x|} \arctan \frac{1}{|x|}$不存在。

选项C

• 当$x\to0^+$时：
  $\lim_{x \to 0^+} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$
  由前面计算可知$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$。
• 当$x\to0^-$时：
  $\lim_{x \to 0^-} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}=\lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$
  因为$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，当$x\to0^-$时，$\frac{1}{x}\to-\infty$，$\lim_{u \to -\infty} \arctan u = -\frac{\pi}{2}$，所以：
  $\lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}=-1\times(-\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$
  因为$\lim_{x \to 0^+} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}=\lim_{x \to 0^-} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x} \arctan \frac{1}{x}$存在，且极限值为$\frac{\pi}{2}$。

选项D

• 当$x\to0^+$时：
  $\lim_{x \to 0^+} |\frac{\sin x}{x}| \arctan \frac{1}{x}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$
  由前面计算可知$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$。
• 当$x\to0^-$时：
  $\lim_{x \to 0^-} |\frac{\sin x}{x}| \arctan \frac{1}{x}=\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}$
  由前面计算可知$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} \arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}$。
  因为$\lim_{x \to 0^+} |\frac{\sin x}{x}| \arctan \frac{1}{x}\neq\lim_{x \to 0^-} |\frac{\sin x}{x}| \arctan \frac{1}{x}$，所以$\lim_{x \to 0} |\frac{\sin x}{x}| \arctan \frac{1}{x}$不存在。