题目
1.13 计算 (int )_(c)^2dfrac (1)({z)^2-z}dz, 其中C为圆周 |z|=2.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查复变函数积分中的柯西积分定理的应用，以及判断被积函数在积分路径内的解析性。
解题核心思路：
- 确定积分路径：圆周 $|z|=2$ 是以原点为中心、半径为2的闭合路径。
- 分析被积函数奇点：被积函数 $\frac{1}{4-z}$ 的奇点为 $z=4$，其模为 $|4|=4$，显然位于圆 $|z|=2$ 外部。
- 应用柯西积分定理：若被积函数在积分路径及其内部区域解析（即无奇点），则积分值为0。
破题关键：
- 判断奇点是否在积分路径内：通过比较奇点位置与路径半径，确定被积函数在积分区域内的解析性。
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确定积分路径与被积函数
积分路径为圆周 $C: |z|=2$，被积函数为 $f(z) = \frac{1}{4-z}$。 -
寻找被积函数的奇点
分母 $4-z=0$ 时，$z=4$，即被积函数在 $z=4$ 处有一阶极点。 -
判断奇点是否在积分路径内
- 积分路径半径为2，奇点 $z=4$ 的模为 $|4|=4 > 2$，因此 $z=4$ 位于圆 $|z|=2$ 外部。
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应用柯西积分定理
- 在积分路径 $C$ 及其内部区域（$|z| \leq 2$），被积函数 $f(z)$ 无奇点，即处处解析。
- 根据柯西积分定理，$\displaystyle \oint_C f(z) \, dz = 0$。