下列数列发散的是（）。A. 0.9，0.99，0.999，…；B. 1-(1)/(2)， 1+(1)/(2)， 1-(1)/(3)， 1+(1)/(3)，…；C. (-1)^n(n)/(n+1)；D. (2^n+(-1)^n)/(2^n).

本题考查数列发散的判断，解题思路是分别分析每个选项中数列的极限情况，若数列极限不存在，则该数列发散。

选项A

该数列的通项公式为$a_{n}=1 - \frac{1}{10^{n}}$。
求$\lim\limits_{n \to \infty} a_{n}$，即$\lim\limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{10^{n}})$。
根据极限的运算法则$\lim\limits_{n \to \infty} (A - B)=\lim\limits_{n \to \infty} A - \lim\limits_{n \to \infty} B$，可得：
$\lim\limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{10^{n}})=\lim\limits_{n \to \infty} 1 - \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{10^{n}}$
因为常数的极限就是其本身，所以$\lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1$。
又因为当$n \to \infty$时，$10^{n} \to \infty$，那么$\frac{1}{10^{n}} \to 0$，即$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{10^{n}} = 0$。
所以$\lim\limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{10^{n}})=1 - 0 = 1$，该数列极限存在，所以数列收敛。

选项B

将数列$1 - \frac{1}{2}$，$1 + \frac{1}{2}$，$1 - \frac{1}{3}$，$1 + \frac{1}{3}$，…的奇数项和偶数项分开来看。
奇数项构成的数列为$b_{n}=1 - \frac{1}{n + 1}$（$n$为奇数），求$\lim\limits_{n \to \infty} b_{n}$，即$\lim\limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n + 1})$。
同样根据极限的运算法则$\lim\limits_{n \to \infty} (A - B)=\lim\limits_{n \to \infty} A - \lim\limits_{n \to \infty} B$，可得：
$\lim\limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n + 1})=\lim\limits_{n \to \infty} 1 - \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1}$
$\lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1$，当$n \to \infty$时，$n + 1 \to \infty$，那么$\frac{1}{n + 1} \to 0$，即$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0$。
所以$\lim\limits_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n + 1})=1 - 0 = 1$。
偶数项构成的数列为$c_{n}=1 + \frac{1}{n}$（$n$为偶数），求$\lim\limits_{n \to \infty} c_{n}$，即$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})$。
根据极限的运算法则$\lim\limits_{n \to \infty} (A + B)=\lim\limits_{n \to \infty} A + \lim\limits_{n \to \infty} B$，可得：
$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})=\lim\limits_{n \to \infty} 1 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}$
$\lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1$，当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，即$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。
所以$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})=1 + 0 = 1$。
奇数项和偶数项的极限都为$1$，所以原数列的极限为$1$，该数列收敛。

选项C

对于数列$\{(-1)^{n}\frac{n}{n + 1}\}$，同样将奇数项和偶数项分开来看。
奇数项构成的数列为$d_{n}=(-1)^{n}\frac{n}{n + 1}$（$n$为奇数），$\lim\limits_{n \to \infty} d_{n}=\lim\limits_{n \to \infty} (-1)^{n}\frac{n}{n + 1}$。
先求$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1}$，分子分母同时除以$n$，得到$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$。
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，所以$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}=\frac{1}{1 + 0}=1$。
因为$n$为奇数时，$(-1)^{n}=-1$，所以$\lim\limits_{n \to \infty} d_{n}=-1$。
偶数项构成的数列为$e_{n}=(-1)^{n}\frac{n}{n + 1}$（$n$为偶数），$\lim\limits_{n \to \infty} e_{n}=\lim\limits_{n \to \infty} (-1)^{n}\frac{n}{n + 1}$。
同样$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1}=1$，因为$n$为偶数时，$(-1)^{n}=1$，所以$\lim\limits_{n \to \infty} e_{n}=1$。
奇数项极限为$-1$，偶数项极限为$1$，奇数项和偶数项极限不相等，所以原数列极限不存在，该数列发散。

选项D

对于数列$\{\frac{2^{n}+(-1)^{n}}{2^{n}}\}$，先将其化简为$\frac{2^{n}+(-1)^{n}}{2^{n}} = 1 + \frac{(-1)^{n}}{2^{n}}$。
求$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2^{n}+(-1)^{n}}{2^{n}}$，即$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{(-1)^{n}}{2^{n}})$。
根据极限的运算法则$\lim\limits_{n \to \infty} (A + B)=\lim\limits_{n \to \infty} A + \lim\limits_{n \to \infty} B$，可得：
$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{(-1)^{n}}{2^{n}})=\lim\limits_{n \to \infty} 1 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}}$
$\lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1$，因为$\vert\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\vert=\frac{1}{2^{n}}$，当$n \to \infty$时，$2^{n} \to \infty$，那么$\frac{1}{2^{n}} \to 0$，所以$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}} = 0$。
所以$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{(-1)^{n}}{2^{n}})=1 + 0 = 1$，该数列极限存在，所以数列收敛。