设随机变量X和Y独立同分布，记U=X+Y，V=X-Y，则U和V()。A. 不相互独立B. 相互独立C. 相关系数不为0D. 相关系数为0

步骤 1：计算协方差
首先，我们计算 $U$ 和 $V$ 的协方差。由于 $U = X + Y$ 和 $V = X - Y$，我们有：
\[ \text{Cov}(U, V) = \text{Cov}(X + Y, X - Y) \]
利用协方差的双线性性质，我们有：
\[ \text{Cov}(X + Y, X - Y) = \text{Cov}(X, X) - \text{Cov}(X, Y) + \text{Cov}(Y, X) - \text{Cov}(Y, Y) \]
由于协方差是对称的，$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)$，并且已知 $X$ 和 $Y$ 独立，$\text{Cov}(X, Y) = 0$，表达式简化为：
\[ \text{Cov}(X + Y, X - Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y) \]
由于 $X$ 和 $Y$ 同分布，$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y)$，所以：
\[ \text{Cov}(X + Y, X - Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(X) = 0 \]
步骤 2：相关系数
由于 $U$ 和 $V$ 的协方差为零，这意味着 $U$ 和 $V$ 的相关系数为零。相关系数的定义为：
\[ \rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sigma_U \sigma_V} \]
由于 $\text{Cov}(U, V) = 0$，所以 $\rho_{UV} = 0$。
步骤 3：独立性
然而，协方差为零并不一定意味着 $U$ 和 $V$ 相互独立。为了确定 $U$ 和 $V$ 是否相互独立，我们需要考虑它们的联合分布。在正态分布的情况下，协方差为零确实意味着独立性，但没有这个假设，我们不能仅从协方差为零就得出独立性的结论。