题目
设随机变量 X sim N(0,1)，对给定的 alpha (0 u_alpha = alpha，若 P|X| > x = alpha，则 x 等于______。A. u_((alpha)/(2))；B. u_(1-(alpha)/(2))；C. u_((1-alpha)/(2))；D. u_(1-alpha).
设随机变量 $X \sim N(0,1)$，对给定的 $\alpha$ ($0 < \alpha < 1$)，数 $u_\alpha$ 满足 $P\{X > u_\alpha\} = \alpha$，若 $P\{|X| > x\} = \alpha$，则 $x$ 等于______。
A. $u_{\frac{\alpha}{2}}$；
B. $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$；
C. $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$；
D. $u_{1-\alpha}$.
题目解答
答案
A. $u_{\frac{\alpha}{2}}$；
解析
本题考查正态分布的性质以及分位数的概念。解题的关键在于利用正态分布的对称性，将$P\{|X| \gt x\}$进行转化，然后与已知条件$P\{X \gt u_{\alpha}\} = \alpha$建立联系。
- 首先，根据绝对值不等式的性质，$P\{|X| \gt x\}$可转化为$P\{X \gt x\} + P\{X \lt -x\}$。
- 因为随机变量$X \sim N(0,1)$，即$X$服从标准正态分布，其概率密度函数图像关于$x = 0$对称。所以$P\{X \gt x\} = P\{X \lt -x\}$。
- 那么$P\{|X| \gt x\} = P\{X \gt x\} + P\{X \lt -x\} = 2P\{X \gt x\}$。
- 已知$P\{|X| \gt x\} = \alpha$，所以$2P\{X \gt x\} = \alpha$，由此可得$P\{X \gt x\} = \frac{\alpha}{2}$。
- 又因为数$u_{\alpha}$满足$P\{X \gt u_{\alpha}\} = \alpha$，对比$P\{X \gt x\} = \frac{\alpha}{2}$，可得$x = u_{\frac{\alpha}{2}}$。