随机变量Y服从正态分布N（5，42），求P（Y≤0），P（Y≤10），P（0≤Y≤15），P（Y≥5），P（Y≥15）的值。

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换、标准正态分布函数φ(z)的应用，以及利用对称性简化计算。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将任意正态分布转化为标准正态分布Z=(Y−μ)/σ。
2. 查标准正态分布表：通过φ(z)计算左侧累积概率。
3. 对称性应用：利用正态分布的对称性（如均值处概率为0.5）和尾部概率的补集关系（如P(Y≥a)=1−P(Y≤a)）。

破题关键点：

• 正确计算Z值：确保代入公式时符号正确。
• 理解φ(z)的含义：φ(z)表示Z≤z的概率。
• 灵活处理区间概率：如P(a≤Y≤b)=P(Y≤b)−P(Y≤a)。

1. P(Y ≤ 0)

步骤1：标准化转换
$Z = \frac{0 - 5}{4} = -1.25$
步骤2：查标准正态分布表
$P(Y \leq 0) = \varphi(-1.25) = 0.10565$

2. P(Y ≤ 10)

步骤1：标准化转换
$Z = \frac{10 - 5}{4} = 1.25$
步骤2：查标准正态分布表
$P(Y \leq 10) = \varphi(1.25) = 0.89435$

3. P(0 ≤ Y ≤ 15)

步骤1：计算P(Y ≤ 15)
$Z = \frac{15 - 5}{4} = 2.5 \quad \Rightarrow \quad \varphi(2.5) = 0.99379$
步骤2：计算区间概率
$P(0 \leq Y \leq 15) = \varphi(2.5) - \varphi(-1.25) = 0.99379 - 0.10565 = 0.88814$

4. P(Y ≥ 5)

利用对称性
$P(Y \geq 5) = 1 - P(Y \leq 5) = 1 - \varphi\left(\frac{5 - 5}{4}\right) = 1 - \varphi(0) = 1 - 0.5 = 0.5$

5. P(Y ≥ 15)

步骤1：计算P(Y ≤ 15)
$\varphi(2.5) = 0.99379$
步骤2：计算右尾概率
$P(Y \geq 15) = 1 - \varphi(2.5) = 1 - 0.99379 = 0.00621$