题目
2.已知总体Xsim N(2,4^2)，X_(1),X_(2),...,X_(n)是总体X的样本，则下列结果正确的是（）.A. (overline(X)-2)/(4)sim N(0,1)B. (overline(X)-2)/(16)sim N(0,1)C. (overline(X)-2)/(2)sim N(0,1)D. (overline(X)-2)/(4/sqrt(n))sim N(0,1)
2.已知总体$X\sim N(2,4^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是总体X的样本，则下列结果正确的是（）.
A. $\frac{\overline{X}-2}{4}\sim N(0,1)$
B. $\frac{\overline{X}-2}{16}\sim N(0,1)$
C. $\frac{\overline{X}-2}{2}\sim N(0,1)$
D. $\frac{\overline{X}-2}{4/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
题目解答
答案
D. $\frac{\overline{X}-2}{4/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
解析
步骤 1：确定总体的均值和方差
已知总体 $X \sim N(2, 4^2)$，即 $\mu = 2$，$\sigma = 4$。这意味着总体的均值为2，方差为16。
步骤 2：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $N\left(2, \frac{16}{n}\right)$。这意味着样本均值的均值为2，方差为 $\frac{16}{n}$。
步骤 3：标准化样本均值
标准化公式为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 2}{4 / \sqrt{n}} \sim N(0,1) \]。这意味着标准化后的样本均值服从标准正态分布。
步骤 4：分析选项
- (A) 分母为 $4$，仅当 $n=1$ 时成立，一般情况不成立。
- (B) 分母为 $16$，方差应为 $\frac{16}{n}$，不成立。
- (C) 分母为 $2$，仅当 $n=4$ 时成立，一般情况不成立。
- (D) 分母为 $\frac{4}{\sqrt{n}}$，符合标准化公式，正确。
已知总体 $X \sim N(2, 4^2)$，即 $\mu = 2$，$\sigma = 4$。这意味着总体的均值为2，方差为16。
步骤 2：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $N\left(2, \frac{16}{n}\right)$。这意味着样本均值的均值为2，方差为 $\frac{16}{n}$。
步骤 3：标准化样本均值
标准化公式为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 2}{4 / \sqrt{n}} \sim N(0,1) \]。这意味着标准化后的样本均值服从标准正态分布。
步骤 4：分析选项
- (A) 分母为 $4$，仅当 $n=1$ 时成立，一般情况不成立。
- (B) 分母为 $16$，方差应为 $\frac{16}{n}$，不成立。
- (C) 分母为 $2$，仅当 $n=4$ 时成立，一般情况不成立。
- (D) 分母为 $\frac{4}{\sqrt{n}}$，符合标准化公式，正确。