设X，Y是两个随机变量，其相关系数存在，则下列命题正确的是（ ）。A. X，Y不相关⇒X，Y不相互独立B. X，Y相互独立⇒X，Y不相关C. X，Y不相关⇒X，Y相互独立D. X，Y相关⇒X，Y相互独立

考查要点：本题主要考查随机变量相关系数与独立性的关系，需明确独立性与不相关的逻辑蕴含方向。

核心思路：

1. 独立性是更强的条件，若随机变量独立，则必然不相关（协方差为0，相关系数为0）。
2. 但不相关仅说明线性关系不存在，并不排除非线性关系，因此不相关不一定独立。
3. 题目需判断选项中逻辑是否成立，特别注意充分条件与必要条件的区分。

破题关键：

• 独立⇒不相关（充分条件）
• 不相关⇏独立（必要条件）
• 相关⇏独立（无关逻辑）

选项分析

选项A：$X,Y$不相关 $\Rightarrow X,Y$不独立

错误。不相关仅说明线性关系不存在，但可能存在非线性关系，此时变量仍可能不独立。例如：设$Y = X^2$，若$X$均值为0，则$\text{Cov}(X,Y)=0$（不相关），但$X$与$Y$显然不独立。

选项B：$X,Y$独立 $\Rightarrow X,Y$不相关

正确。若$X,Y$独立，则$\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0$（独立时$E[XY]=E[X]E[Y]$），因此相关系数$\rho_{XY}=0$，即不相关。

选项C：$X,Y$不相关 $\Rightarrow X,Y$独立

错误。反例同选项A，不相关不保证独立。

选项D：$X,Y$相关 $\Rightarrow X,Y$独立

错误。相关（$\rho_{XY} \neq 0$）与独立无关，相关仅说明存在线性关系，但独立性要求更严格。