题目
设随机变量X、Y相互独立，且同服从正态分布N ( 0 , 4 ) ，从中分别抽取样本X1、X1和X1、X1，统计量X1服从（）。 A. t ( 2 ) B. t ( 4 ) C. X1D. X1
设随机变量X、Y相互独立，且同服从正态分布N ( 0 , 4 ) ，从中分别抽取样本
、
和
、
，统计量
服从（）。
A. t ( 2 )
B. t ( 4 )
C. 
D. 
题目解答
答案
∵
,
∴
,
∴
∴
即
∴
故四答案为：A。
解析
步骤 1：确定X1+X2的分布
由于X1和X2相互独立且同服从正态分布N(0, 4)，则X1+X2的分布为N(0, 8)。这是因为两个独立正态分布的和仍为正态分布，其均值为两个分布均值之和，方差为两个分布方差之和。因此，X1+X2的均值为0，方差为4+4=8。
步骤 2：确定Y1^2+Y2^2的分布
由于Y1和Y2相互独立且同服从正态分布N(0, 4)，则Y1^2和Y2^2分别服从卡方分布${\chi}^{2}(1)$。这是因为正态分布的平方服从卡方分布，且自由度为1。因此，Y1^2+Y2^2的分布为${\chi}^{2}(2)$，因为两个独立卡方分布的和仍为卡方分布，其自由度为两个分布自由度之和。
步骤 3：确定统计量u的分布
统计量$u=\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt {{{Y}_{1}}^{2}+{{Y}_{2}}^{2}}}$的分布为t分布。这是因为分子服从正态分布，分母的平方根服从卡方分布，且分子和分母相互独立。因此，统计量u服从t分布，其自由度为Y1^2+Y2^2的自由度，即2。
由于X1和X2相互独立且同服从正态分布N(0, 4)，则X1+X2的分布为N(0, 8)。这是因为两个独立正态分布的和仍为正态分布，其均值为两个分布均值之和，方差为两个分布方差之和。因此，X1+X2的均值为0，方差为4+4=8。
步骤 2：确定Y1^2+Y2^2的分布
由于Y1和Y2相互独立且同服从正态分布N(0, 4)，则Y1^2和Y2^2分别服从卡方分布${\chi}^{2}(1)$。这是因为正态分布的平方服从卡方分布，且自由度为1。因此，Y1^2+Y2^2的分布为${\chi}^{2}(2)$，因为两个独立卡方分布的和仍为卡方分布，其自由度为两个分布自由度之和。
步骤 3：确定统计量u的分布
统计量$u=\dfrac {{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt {{{Y}_{1}}^{2}+{{Y}_{2}}^{2}}}$的分布为t分布。这是因为分子服从正态分布，分母的平方根服从卡方分布，且分子和分母相互独立。因此，统计量u服从t分布，其自由度为Y1^2+Y2^2的自由度，即2。