48 单选题 若随机变量 X sim N(mu, sigma^2)，从中随机抽取样本 x_1, x_2, ..., x_n，则 (bar(x) - mu)/sigmasqrt(n) 服从的分布为（）。A. 近似正态分布B. t分布C. 标准正态分布D. F分布

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布相关知识点。解题的关键在于明确已知随机变量$X$服从正态分布，然后根据样本均值的性质推导出$(\bar{x} - \mu)/\sigma\sqrt{n}$的分布。

1. 已知随机变量$X\sim N(\mu, \sigma^2)$，即$X$服从均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$的正态分布。
2. 从总体$X$中随机抽取样本$x_1, x_2, \cdots, x_n$，根据正态分布的性质可知，样本均值$\bar{x}$也服从正态分布，且$\bar{x}\sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。这是因为对于独立同分布的随机变量，样本均值的期望等于总体期望，样本均值的方差等于总体方差除以样本容量。
3. 为了将$\bar{x}$转化为标准正态分布，我们对其进行标准化处理。设$Z = \frac{\bar{x} - E(\bar{x})}{\sqrt{D(\bar{x})}}$，其中$E(\bar{x})$是$\bar{x}$的期望，$D(\bar{x})$是$\bar{x}$的方差。
4. 由前面可知$E(\bar{x}) = \mu$，$D(\bar{x}) = \frac{\sigma^2}{n}$，将其代入上式可得：
   • $Z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}$。
   • 根据根式运算法则$\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，则$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma}\sqrt{n}$。
5. 而标准正态分布是指均值为$0$，方差为$1$的正态分布，经过标准化处理后的随机变量$Z$服从标准正态分布，即$Z\sim N(0, 1)$。所以$(\bar{x} - \mu)/\sigma\sqrt{n}$服从标准正态分布。