若傅里叶变换对x(t) rightarrow X(f)成立，则X(t)的傅里叶变换为：A. x(-f)B. x(f)C. X(-f)D. X(f)

本题考查傅里叶变换的对偶性这一知识点。解题思路是先明确傅里叶变换的定义式，再根据已知的傅里叶变换对，通过变量代换等方法推导出$X(t)$的傅里叶变换。

已知傅里叶变换的定义为：若$x(t)$的傅里叶变换为$X(f)$，则$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ ①。

现在要求$X(t)$的傅里叶变换，设$X(t)$的傅里叶变换为$Y(f)$，根据傅里叶变换的定义可得：

$Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}X(t)e^{-j2\pi ft}dt$

在①式中，将$t$与$f$进行互换，可得$X(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(f)e^{-j2\pi ft}df$。

将$X(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(f)e^{-j2\pi ft}df$代入$Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}X(t)e^{-j2\pi ft}dt$中，得到：

$Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}x(f)e^{-j2\pi ft}df\right)e^{-j2\pi ft}dt$

交换积分次序可得：

$Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(f)\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi f(t + t)}dt\right)df$

令$\tau=-t$，则$dt=-d\tau$，当$t = -\infty$时，$\tau=\infty$；当$t=\infty$时，$\tau = -\infty$。

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi f(t + t)}dt=-\int_{\infty}^{-\infty}e^{-j2\pi f(-\tau+\tau)}d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi f(0)}d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}1d\tau$

而$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi f(t + t)}dt=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j4\pi ft}dt$，根据冲激函数的傅里叶变换性质$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi ft}dt=\delta(f)$，这里$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j4\pi ft}dt=\delta(2f)$。

所以$Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(f)\delta(2f)df$

根据冲激函数的筛选性质$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t - t_0)dt=x(t_0)$，可得$Y(f)=x(-f)$