题目
某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查100个索赔户中被盗而向保险公司索赔的户数,则P(14 le X le 30) = ().(已知q(2.5)=0.9938, Phi (1.5)=0.9332)A. 0.927B. 0.9C. 0.938D. 0.9332
某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查100个索赔户中被盗而向保险公司索赔的户数,则P{14 \le X \le 30} = ().(已知q(2.5)=0.9938, \Phi (1.5)=0.9332)
A. 0.927
B. 0.9
C. 0.938
D. 0.9332
题目解答
答案
A. 0.927
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
根据题意，X表示在随机抽查100个索赔户中被盗而向保险公司索赔的户数。由于每个索赔户被盗的概率为20%，且各索赔户之间是否被盗是独立的，因此X服从二项分布，即X ~ B(100, 0.2)。
步骤 2：利用中心极限定理近似计算概率
由于n=100较大，p=0.2，np=20，n(1-p)=80，均大于5，因此可以使用正态分布来近似二项分布。根据中心极限定理，X近似服从正态分布N(np, np(1-p))，即X ~ N(20, 16)。
步骤 3：计算P{14 \le X \le 30}
首先，将X的值标准化为标准正态分布的值。对于X=14，标准化后的值为(14-20)/4=-1.5；对于X=30，标准化后的值为(30-20)/4=2.5。因此，P{14 \le X \le 30} = P{-1.5 \le Z \le 2.5}，其中Z为标准正态分布的随机变量。
根据已知的正态分布表，\Phi(2.5)=0.9938，\Phi(-1.5)=1-\Phi(1.5)=1-0.9332=0.0668。因此，P{-1.5 \le Z \le 2.5} = \Phi(2.5) - \Phi(-1.5) = 0.9938 - 0.0668 = 0.927。
根据题意，X表示在随机抽查100个索赔户中被盗而向保险公司索赔的户数。由于每个索赔户被盗的概率为20%，且各索赔户之间是否被盗是独立的，因此X服从二项分布，即X ~ B(100, 0.2)。
步骤 2：利用中心极限定理近似计算概率
由于n=100较大，p=0.2，np=20，n(1-p)=80，均大于5，因此可以使用正态分布来近似二项分布。根据中心极限定理，X近似服从正态分布N(np, np(1-p))，即X ~ N(20, 16)。
步骤 3：计算P{14 \le X \le 30}
首先，将X的值标准化为标准正态分布的值。对于X=14，标准化后的值为(14-20)/4=-1.5；对于X=30，标准化后的值为(30-20)/4=2.5。因此，P{14 \le X \le 30} = P{-1.5 \le Z \le 2.5}，其中Z为标准正态分布的随机变量。
根据已知的正态分布表，\Phi(2.5)=0.9938，\Phi(-1.5)=1-\Phi(1.5)=1-0.9332=0.0668。因此，P{-1.5 \le Z \le 2.5} = \Phi(2.5) - \Phi(-1.5) = 0.9938 - 0.0668 = 0.927。