40、判断 设连续型随机变量X_(1)，…，X_(n)相互独立且服从统一分布，其分布函数为F(x)，密度函数为f(x)，若记N=min(X_(1)，…，X_(n))，则f_(N)(z)=n[1-F(z)]^n-1f(z)A. ×B. √

本题考查连续型随机变量函数的概率密度函数的求解，解题思路是先求出随机变量$N = \min(X_1, \cdots, X_n)$的分布函数$F_N(z)$，再对其求导得到概率密度函数$f_N(z)$。

1. 求$N$的分布函数$F_N(z)$：
   分布函数的定义为$F_N(z)=P(N\leq z)$，已知$N = \min(X_1, \cdots, X_n)$，那么$P(N\leq z)=1 - P(N > z)$。
   因为$N = \min(X_1, \cdots, X_n)$，所以$N > z$等价于$X_1 > z, X_2 > z, \cdots, X_n > z$。
   又因为$X_1, \cdots, X_n$相互独立，根据独立事件的概率性质：若事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$相互独立，则$P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)$，可得$P(N > z)=P(X_1 > z, X_2 > z, \cdots, X_n > z)=P(X_1 > z)P(X_2 > z)\cdots P(X_n > z)$。
   已知$X_i$的分布函数为$F(x)$，则$P(X_i > z)=1 - P(X_i\leq z)=1 - F(z)$，$i = 1,2,\cdots,n$。
   所以$P(N > z)=(1 - F(z))^n$，那么$F_N(z)=1 - P(N > z)=1 - (1 - F(z))^n$。
2. 求$N$的概率密度函数$f_N(z)$：
   对于连续型随机变量，概率密度函数是分布函数的导数，即$f_N(z)=\frac{dF_N(z)}{dz}$。
   对$F_N(z)=1 - (1 - F(z))^n$求导，根据求导公式$(u^n)^\prime=nu^{n - 1}u^\prime$，令$u = 1 - F(z)$，则$F_N^\prime(z)=-n(1 - F(z))^{n - 1}\times(-f(z))$。
   所以$f_N(z)=n[1 - F(z)]^{n - 1}f(z)$。