17.(不定项选择题，10.0分)盒中有3红黄3蓝共9个球.从中随机取2个球，不放回.若这两个球颜色相同，则往盒中放入该颜色球1个；若这两个球颜色不同，则放入第三种颜色的球1个.然后再从盒中随机取2个球.用A表示第1次取到的两个球颜色不同，B表示第2次取到的两个球颜色不同，则A P(B|A)≤P(B)B P(A)≥(2)/(3)C P(B|A)≥P(B)D P(B)≥(2)/(3)

解题思路

本题考查条件概率、全概率公式以及古典概型的综合应用。解题的切入点是先根据第1次取球的结果，分类讨论盒中球的变化情况，进而求出第1次取球颜色不同的概率 $P(A)$。接着，根据第1次取球后盒中球的组成，分别求出第2次取球颜色不同的概率 $P(B|A)$ 和 $P(B|\overline{A})$。最后，利用全概率公式求出 $P(B)$，并比较各概率之间的大小关系，从而判断各个选项。

核心解题步骤

1. 分析初始状态与第1次取球

盒中初始有 3 红、3 黄、3 蓝，共 9 个球。
从中随机取 2 个球，不放回。总的基本事件数为：
$\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$

事件 $A$ 表示第 1 次取到的 2 个球颜色不同。

• 取出的 2 个球颜色不同，意味着这 2 个球来自 3 种不同颜色中的 2 种。
• 我们可以先选出 2 种颜色，有 $\binom{3}{2} = 3$ 种选法（即红黄、红蓝、黄蓝）。
• 对于选出的 2 种颜色，每种颜色各取 1 个球，有 $3 \times 3 = 9$ 种取法。
• 所以，取出的 2 个球颜色不同的取法总数为：$3 \times 9 = 27$ 种。

因此，第 1 次取球颜色不同的概率为：
$P(A) = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$
因为 $\frac{3}{4} \ge \frac{2}{3}$，所以 选项 B 正确。

事件 $\overline{A}$ 表示第 1 次取到的 2 个球颜色相同。

• 取出的 2 个球颜色相同，意味着这 2 个球来自同一种颜色。
• 有 3 种颜色可选（红、黄、蓝）。
• 对于选定的颜色，从 3 个球中取 2 个，有 $\binom{3}{2} = 3$ 种取法。
• 所以，取出的 2 个球颜色相同的取法总数为：$3 \times 3 = 9$ 种。
• 概率为：$P(\overline{A}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$。

2. 分析第1次取球后盒中球的组成

根据题意，第 1 次取球后，会根据规则往盒中放入 1 个球。

• 若第 1 次取 2 个球颜色不同（事件 $A$ 发生）：
  放入第三种颜色的球 1 个。
  假设取出了 1 红 1 黄，则放入 1 个蓝球。
  此时盒中球的变化：

  • 红球：$3 - 1 = 2$ 个
  • 黄球：$3 - 1 = 2$ 个
  • 蓝球：$3 - 0 + 1 = 4$ 个
    总球数：$2 + 2 + 4 = 8$ 个。
    由于取出的 2 个球颜色不同，放入的球是第三种颜色，所以无论哪种情况，盒中 3 种颜色的球数分布总是“2个、2个、4个”（即两种颜色各剩 2 个，第三种颜色变为 4 个）。

• 若第 1 次取 2 个球颜色相同（事件 $\overline{A}$ 发生）：
  放入该颜色球 1 个。
  假设取出了 2 个红球，则放入 1 个红球。
  此时盒中球的变化：

  • 红球：$3 - 2 + 1 = 2$ 个
  • 黄球：$3$ 个
  • 蓝球：$3$ 个
    总球数：$2 + 3 + 3 = 8$ 个。
    同理，无论取哪种颜色，盒中 3 种颜色的球数分布总是“2个、3个、3个”（即被取的颜色剩 2 个，另外两种颜色各 3 个）。

3. 计算条件概率 $P(B|A)$ 和 $P(B|\overline{A})$

事件 $B$ 表示第 2 次取到的 2 个球颜色不同。此时盒中有 8 个球，从中随机取 2 个，总取法数为：
$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$

• 计算 $P(B|A)$：
  在事件 $A$ 发生的条件下，盒中球的颜色分布为 2、2、4。
  设三种颜色的球数分别为 2、2、4。
  第 2 次取 2 个球颜色不同的取法，即从 3 种颜色中取 2 种，且这 2 种颜色各取 1 个。
  可能的颜色组合及取法：

  1. 取数量为 2 和 2 的两种颜色：$2 \times 2 = 4$ 种
  2. 取数量为 2 和 4 的两种颜色（有两种这样的组合）：$2 \times 4 + 2 \times 4 = 16$ 种
     所以，颜色不同的取法总数为：$4 + 16 = 20$ 种。
     因此：
     $P(B|A) = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}$

• 计算 $P(B|\overline{A})$：
  在事件 $\overline{A}$ 发生的条件下，盒中球的颜色分布为 2、3、3。
  设三种颜色的球数分别为 2、3、3。
  第 2 次取 2 个球颜色不同的取法：

  1. 取数量为 2 和 3 的两种颜色（有两种这样的组合）：$2 \times 3 + 2 \times 3 = 12$ 种
  2. 取数量为 3 和 3 的两种颜色：$3 \times 3 = 9$ 种
     所以，颜色不同的取法总数为：$12 + 9 = 21$ 种。
     因此：
     $P(B|\overline{A}) = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$

4. 计算 $P(B)$ 并比较大小

根据全概率公式，第 2 次取 2 个球颜色不同的概率 $P(B)$ 为：
$\begin{aligned} P(B) &= P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) \\ &= \frac{5}{7} \times \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \\ &= \frac{15}{28} + \frac{3}{16} \\ &= \frac{60}{112} + \frac{21}{112} \\ &= \frac{81}{112} \end{aligned}$

现在我们来逐一验证各个选项：

• 选项 B：$P(A) = \frac{3}{4} \ge \frac{2}{3}$，已验证，正确。
• 选项 D：$P(B) = \frac{81}{112}$。比较 $\frac{81}{112}$ 与 $\frac{2}{3}$：
  $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 112}{3 \times 112} = \frac{224}{336}$
  $\frac{81}{112} = \frac{81 \times 3}{112 \times 3} = \frac{243}{336}$
  因为 $243 > 224$，所以 $P(B) > \frac{2}{3}$，即 $P(B) \ge \frac{2}{3}$ 成立，正确。
• 选项 A 和 C：比较 $P(B|A)$ 与 $P(B)$。
  已知 $P(B|A) = \frac{5}{7} = \frac{80}{112}$。
  已知 $P(B) = \frac{81}{112}$。
  显然 $\frac{80}{112} < \frac{81}{112}$，即 $P(B|A) < P(B)$。
  因此，$P(B|A) \le P(B)$ 成立（选项 A 正确），$P(B|A) \ge P(B)$ 不成立（选项 C 错误）。

综上所述，正确的选项为 A、B、D。

标准答案

A, B, D