题目
九、计算题（本大题8分）.已知总体X的概率密度f(x;theta)=}(1)/(theta)e^-(x)/(theta),&x>0;0,&xleq0.为X的一容量为n的样本，求theta的极大似然估计量.
九、计算题（本大题8分）.
已知总体X的概率密度$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0;\\0,&x\leq0.\end{cases}$（参数$\theta>0$），$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为X的一容量为n的样本，求$\theta$的极大似然估计量.
题目解答
答案
似然函数为：
\[ L(\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i}. \]
取对数得：
\[ \ell(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i. \]
求导并令其为零：
\[ \frac{d \ell(\theta)}{d \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0. \]
解得：
\[ \theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline{X}. \]
**答案：** $\boxed{\overline{X}}$
解析
考查要点：本题主要考查极大似然估计的基本方法，涉及概率密度函数、似然函数的构造、对数似然函数的求导及极值求解。
解题核心思路：
- 构造似然函数：将样本中每个观测值的概率密度相乘，得到关于参数$\theta$的函数。
- 取对数简化计算：通过对数转换将乘积转化为求和，便于求导。
- 求导找极值：对对数似然函数求导并令导数为零，解方程得到$\theta$的估计值。
- 验证解的合理性：确认解是否满足极大值条件（本题默认解为极大值点）。
破题关键点：
- 识别指数分布形式：概率密度函数形式为$\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}$，对应参数$\theta$为均值。
- 正确处理求导过程：注意对数函数和分式函数的导数规则，避免符号错误。
构造似然函数
样本$X_1, X_2, \cdots, X_n$独立同分布，似然函数为各概率密度的乘积：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{\theta} e^{-X_i/\theta} \right) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i}.$
取对数得对数似然函数
对似然函数取自然对数：
$\ell(\theta) = \ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i.$
求导并解方程
对$\theta$求导并令导数为零：
$\frac{d\ell}{d\theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0.$
整理得：
$\frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{n}{\theta} \implies \sum_{i=1}^n X_i = n\theta \implies \theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline{X}.$