齐次 线性微分方程的通解 加上对应非齐次的一个特解,就是此非齐次线性微分方程的通解。A. 正确B. 错误

本题考查非齐次线性微分方程通解的结构这一知识点。解题思路是依据非齐次线性微分方程通解的定义和性质来判断该命题的正确性。

对于非齐次线性微分方程 $L(y)=f(x)$（其中 $L$ 是线性微分算子），设其对应的齐次线性微分方程为 $L(y) = 0$。

• 首先，齐次线性微分方程 $L(y)=0$ 的通解 $y_h$ 满足方程 $L(y_h)=0$，它包含了齐次方程的所有解，并且解的形式通常由齐次方程的特征方程的根决定。例如，对于二阶常系数齐次线性微分方程 $y'' + py'+qy = 0$，其特征方程为 $r^{2}+pr + q=0$，根据特征根的不同情况可以得到不同形式的通解。
• 然后，非齐次线性微分方程 $L(y)=f(x)$ 的一个特解 $y_p$ 满足方程 $L(y_p)=f(x)$。
• 最后，我们来验证 $y = y_h + y_p$ 是否为非齐次线性微分方程 $L(y)=f(x)$ 的解。根据线性微分算子的线性性质 $L(a_1y_1 + a_2y_2)=a_1L(y_1)+a_2L(y_2)$（这里 $a_1 = a_2=1$，$y_1 = y_h$，$y_2 = y_p$），有 $L(y)=L(y_h + y_p)=L(y_h)+L(y_p)$。因为 $L(y_h)=0$ 且 $L(y_p)=f(x)$，所以 $L(y)=0 + f(x)=f(x)$，这表明 $y = y_h + y_p$ 是非齐次线性微分方程 $L(y)=f(x)$ 的解。又因为 $y_h$ 是齐次方程的通解，包含了齐次方程的所有解，所以 $y = y_h + y_p$ 包含了非齐次方程的所有解，即它是非齐次线性微分方程的通解。