11 求下列方阵的逆矩阵(3)}1&0&01&1&01&1&1;
题目解答
答案
-
计算行列式：
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times (1 \times 1 - 0 \times 1) = 1 \neq 0$
矩阵可逆。 -
求伴随矩阵：
余子式矩阵为：
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
伴随矩阵 $A^*$ 为余子式矩阵的转置：
$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ -
求逆矩阵：
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
答案：
$\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$
解析
本题考查方阵逆矩阵的求解。解题思路是先判断方阵是否可逆，通过计算方阵的行列式，若行列式的值不为零，则方阵可逆；然后求出方阵的伴随矩阵，伴随矩阵是余子式矩阵的转置；最后根据逆矩阵公式$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$计算逆矩阵。
1. 判断方阵是否可逆
对于方阵$A = \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$，计算其行列式$|A|$。
根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，可得：
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\times\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}-0\times\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$
$= 1\times(1\times 1 - 0\times 1) - 0 + 0 = 1\neq 0$
因为$|A|\neq 0$，所以矩阵$A$可逆。
2. 求伴随矩阵$A^*$
先求余子式矩阵。
- 元素$a_{11}=1$的余子式$M_{11}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\times 1 - 0\times 1 = 1$；
- 元素$a_{12}=0$的余子式$M_{12}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\times 1 - 0\times 1 = 1$，其代数余子式$A_{12}=(-1)^{1 + 2}M_{12}=-1$；
- 元素$a_{13}=0$的余子式$M_{13}=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\times 1 - 1\times 1 = 0$；
- 元素$a_{21}=1$的余子式$M_{21}=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=0\times 1 - 0\times 1 = 0$；
- 元素$a_{22}=1$的余子式$M_{22}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\times 1 - 0\times 1 = 1$；
- 元素$a_{23}=0$的余子式$M_{23}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\times 1 - 0\times 1 = 1$，其代数余子式$A_{23}=(-1)^{2 + 3}M_{23}=-1$；
- 元素$a_{31}=1$的余子式$M_{31}=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=0\times 0 - 0\times 1 = 0$；
- 元素$a_{32}=1$的余子式$M_{32}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=1\times 0 - 0\times 1 = 0$；
- 元素$a_{33}=1$的余子式$M_{33}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\times 1 - 0\times 1 = 1$。
所以余子式矩阵为$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，代数余子式矩阵为$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
伴随矩阵$A^*$是代数余子式矩阵的转置，即$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。
3. 求逆矩阵$A^{-1}$
根据逆矩阵公式$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$，因为$|A| = 1$，所以$A^{-1} = \frac{1}{1}A^* = A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。