题目

某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名.该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试.根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80,100]的学生可取得A等(优秀)，在[60,80)的学生可取得B等(良好)，在[40,60)的学生可取得C等(合格)，在不到40分的学生只能取得D等(不合格).为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30,40)、[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，下图是该频率分布直方图．频率-|||-组距-|||-0.026-|||-0.024-|||-0.018 F-- -----|||-0.012-|||-0.006 --|||-0 30 40 50 60 70 80 90 100分数 (Ⅰ)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数； (Ⅱ)请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整.并判断是否有90％的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生 a=12 b= 女生 c= d=34 合计 n=100 附：({K)^2}=dfrac(n{{(ad-bc))^2}}((a+b)(c+d)(a+c)(b+d)) P(K^2 > k_(0)) 0.15 0.10 0.05 K_(0) 2.072 2.706 3.841

某校高二年级共有$1600$名学生，其中男生$960$名，女生$640$名$.$该校组织了一次满分为$100$分的数学学业水平模拟考试$.$根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在$[80,100]$的学生可取得$A$等$($优秀$)$，在$[60,80)$的学生可取得$B$等$($良好$)$，在$[40,60)$的学生可取得$C$等$($合格$)$，在不到$40$分的学生只能取得$D$等$($不合格$).$为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取$100$名学生，将他们的成绩按从低到高分成$[30,40)$、$[40,50)$、$[50,60)$、$[60,70)$、$[70,80)$、$[80,90)$、$[90,100]$七组加以统计，绘制成频率分布直方图，下图是该频率分布直方图．

$($Ⅰ$)$估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；

$($Ⅱ$)$请你根据已知条件将下列$2×2$列联表补充完整$.$并判断是否有$90％$的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？

	数学成绩优秀	数学成绩不优秀	合计
男生	$a=12$	$b=$
女生	$c=$	$d=34$
合计			$n=100$

附：${{K}^{2}}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^{2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(K^{2} > k_{0})$	$0.15$	$0.10$	$0.05$
$K_{0}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$

题目解答

答案

解：$($Ⅰ$)$ 抽取的$100$名学生中，本次考试成绩不合格的有$x$人，

根据题意得$x=100×[1-10×(0.006+0.012×2+0.018+0.024+0.026)]=2$

据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为$ \dfrac{2}{100}×1600=32 ($人$)$．

$($Ⅱ$)$根据已知条件得$2×2$列联表如下：

	数学成绩优秀	数学成绩不优秀	合计
男生	$a=12$	$b=48$	$60$
女生	$c=6$	$d=34$	$40$
合计	$18$	$82$	$n=100$

$∵{k}^{2}= \dfrac{100(12×34-6×48{)}^{2}}{18×82×40×60}≈0.407 < 2.706 $，

所以，没有$90\%$的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．

解析

步骤 1：计算成绩不合格的人数
根据频率分布直方图，成绩在$[30,40)$的频率为$0.006$，在$[40,50)$的频率为$0.012$，因此成绩不合格的频率为$0.006+0.012=0.018$。由于样本容量为$100$，所以成绩不合格的人数为$100\times0.018=1.8$，取整为$2$人。据此估计全校成绩不合格的人数为$\frac{2}{100}\times1600=32$人。
步骤 2：补充$2\times2$列联表
根据题意，男生$12$人成绩优秀，女生$34$人成绩不优秀，总人数为$100$人。因此，男生成绩不优秀的人数为$60-12=48$人，女生成绩优秀的人数为$100-60-34=6$人。
步骤 3：计算$K^2$值
根据$2\times2$列联表，计算$K^2$值为$\frac{100\times(12\times34-6\times48)^2}{18\times82\times60\times40}\approx0.407$。
步骤 4：判断是否有$90\%$的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”
由于$0.407<2.706$，所以没有$90\%$的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”。