题目
九、(10分)机器自动包装某食品，设每袋食品的净重服从正态分布N(μ，σ²)，规定每袋食品的标准质量为500g，某天开工后，为了检查机器是否正常工作，从包装好的食品中随机抽取9袋检查，测得净重为497，507，510，475，488，524，491，515，512。若σ²=16，在0.05的显著水平下，判断包装机是否工作正常？给出理由。提示：overline(x)=502.111，z_(0.025)=1.960，z_(0.05)=1.650
九、(10分)机器自动包装某食品，设每袋食品的净重服从正态分布N(μ，σ²)，规定每袋食品的标准质量为500g，某天开工后，为了检查机器是否正常工作，从包装好的食品中随机抽取9袋检查，测得净重为497，507，510，475，488，524，491，515，512。若σ²=16，在0.05的显著水平下，判断包装机是否工作正常？给出理由。
提示：$\overline{x}=502.111$，$z_{0.025}=1.960$，$z_{0.05}=1.650$
题目解答
答案
**解题步骤：**
1. **假设检验：**
原假设 $H_0: \mu = 500$，备择假设 $H_1: \mu \neq 500$。
2. **计算检验统计量：**
\[
Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{502.111 - 500}{4 / 3} \approx 1.583
\]
3. **确定临界值：**
显著水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验临界值 $z_{0.025} = 1.96$。
4. **比较统计量与临界值：**
$|Z| = 1.583 < 1.96$，未落入拒绝域。
**结论：**
在0.05的显著水平下，无法拒绝原假设，认为包装机工作正常。
\[
\boxed{\text{包装机工作正常}}
\]
解析
步骤 1：假设检验
原假设 $H_0: \mu = 500$，即每袋食品的平均净重为500g。
备择假设 $H_1: \mu \neq 500$，即每袋食品的平均净重不等于500g。
步骤 2：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本均值 $\overline{x} = 502.111$，总体标准差 $\sigma = \sqrt{16} = 4$，样本容量 $n = 9$。
检验统计量 $Z$ 的计算公式为：
\[ Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{502.111 - 500}{4 / \sqrt{9}} = \frac{2.111}{4 / 3} = \frac{2.111}{1.333} \approx 1.583 \]
步骤 3：确定临界值
显著水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验临界值 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 4：比较统计量与临界值
$|Z| = 1.583 < 1.96$，未落入拒绝域。
原假设 $H_0: \mu = 500$，即每袋食品的平均净重为500g。
备择假设 $H_1: \mu \neq 500$，即每袋食品的平均净重不等于500g。
步骤 2：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本均值 $\overline{x} = 502.111$，总体标准差 $\sigma = \sqrt{16} = 4$，样本容量 $n = 9$。
检验统计量 $Z$ 的计算公式为：
\[ Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{502.111 - 500}{4 / \sqrt{9}} = \frac{2.111}{4 / 3} = \frac{2.111}{1.333} \approx 1.583 \]
步骤 3：确定临界值
显著水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验临界值 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 4：比较统计量与临界值
$|Z| = 1.583 < 1.96$，未落入拒绝域。