解同余式组 ) x=11(mod20) x=3(mod24) .

步骤 1：将同余式组分解为更简单的同余式
原同余式组$\left \{ \begin{matrix} x\equiv 11(mod20)\\ x\equiv 3(mod24).\end{matrix} \right.$ 可以分解为$\left \{ \begin{matrix} x\equiv 1(mod5)\\ x\equiv 0(mod4)\\ x\equiv 3(mod24).\end{matrix} \right.$，因为$20=4\times5$，$24=8\times3$，且$4$和$5$互质，$8$和$3$互质。

步骤 2：求解同余式组
首先，我们注意到$x\equiv 0(mod4)$和$x\equiv 3(mod24)$可以合并为$x\equiv 3(mod8)$，因为$24$是$8$的倍数，且$3$在模$8$下与$3$同余。因此，原同余式组可以简化为$\left \{ \begin{matrix} x\equiv 1(mod5)\\ x\equiv 3(mod8).\end{matrix} \right.$

步骤 3：使用中国剩余定理求解
根据中国剩余定理，我们可以找到一个数$x$，它同时满足$x\equiv 1(mod5)$和$x\equiv 3(mod8)$。我们可以通过枚举或计算找到这样的$x$。通过计算，我们发现$x=51$满足这两个条件，因为$51\equiv 1(mod5)$且$51\equiv 3(mod8)$。

步骤 4：确定解的周期性
由于$5$和$8$互质，根据中国剩余定理，解的周期为$5\times8=40$。因此，$x=51$是原同余式组的一个解，且所有解可以表示为$x=51+40k$，其中$k$为整数。