题目
13.在一次“概率论与数理统计”课程的测验后，抽取49位学生的分数，计算得平均成绩为75分，标准差为10.5分，假设学生成绩服从正态分布，求平均成绩的90%置信区间.
13.在一次“概率论与数理统计”课程的测验后，抽取49位学生的分数，计算得平均成绩为75分，标准差为10.5分，假设学生成绩服从正态分布，求平均成绩的90%置信区间.
题目解答
答案
已知样本均值 $\overline{x} = 75$，样本标准差 $s = 10.5$，样本量 $n = 49$，置信水平为90%。
自由度 $df = n - 1 = 48$，对应 $t_{0.05}(48) \approx 1.677$。
计算标准误：$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10.5}{7} = 1.5$。
计算 margin of error：$1.677 \times 1.5 \approx 2.5155$。
置信区间为：$\overline{x} \pm 2.5155$，即 $(72.4845, 77.5155)$。
**答案：**
$\boxed{(72.48, 77.52)}$
解析
步骤 1：确定已知参数
已知样本均值 $\overline{x} = 75$，样本标准差 $s = 10.5$，样本量 $n = 49$，置信水平为90%。
步骤 2：计算自由度和临界值
自由度 $df = n - 1 = 48$，对应 $t_{0.05}(48) \approx 1.677$。
步骤 3：计算标准误
标准误为 $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10.5}{\sqrt{49}} = \frac{10.5}{7} = 1.5$。
步骤 4：计算 margin of error
margin of error 为 $1.677 \times 1.5 \approx 2.5155$。
步骤 5：计算置信区间
置信区间为 $\overline{x} \pm 2.5155$，即 $(75 - 2.5155, 75 + 2.5155)$，即 $(72.4845, 77.5155)$。
已知样本均值 $\overline{x} = 75$，样本标准差 $s = 10.5$，样本量 $n = 49$，置信水平为90%。
步骤 2：计算自由度和临界值
自由度 $df = n - 1 = 48$，对应 $t_{0.05}(48) \approx 1.677$。
步骤 3：计算标准误
标准误为 $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10.5}{\sqrt{49}} = \frac{10.5}{7} = 1.5$。
步骤 4：计算 margin of error
margin of error 为 $1.677 \times 1.5 \approx 2.5155$。
步骤 5：计算置信区间
置信区间为 $\overline{x} \pm 2.5155$，即 $(75 - 2.5155, 75 + 2.5155)$，即 $(72.4845, 77.5155)$。