4.[填空题]设X_(1),X_(2),...,X_(n)是总体N(mu,sigma^2)的样本，overline(X),S^2分别是样本均值和样本方差，则统计量(overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))服从自由度为____的t分布. 第一空： 请输入答案

本题考查的知识点是t分布的定义以及样本均值和样本方差的性质。解题的关键在于将给定的统计量$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$与t分布的定义形式进行联系。

步骤一：明确相关分布

• 已知$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，根据正态分布的性质，样本均值$\overline{X}$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
• 对$\overline{X}$进行标准化处理，令$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，则$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
• 同时，根据样本方差的性质，统计量$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}$服从自由度为$n - 1$的$\chi^{2}$分布，即$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$。

步骤二：对统计量进行变形

将统计量$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$变形为$\frac{\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\frac{S}{\sigma}}$，也就是$\frac{Z}{\frac{S}{\sigma}}$。

步骤三：根据t分布的定义确定自由度

t分布的定义为：若$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^{2}(n)$，且$Z$与$Y$相互独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。
在本题中，$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}\sim N(0,1)$，$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，我们可以将$\frac{S}{\sigma}$表示为$\sqrt{\frac{\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}}{n - 1}}$。
那么$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}=\frac{Z}{\sqrt{\frac{\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}}{n - 1}}}$，符合t分布的定义形式，其中自由度为$n - 1$。