极限 lim_(x to 0) (1 - cos x)/(x^2) = ( )A. 1B. 1/2C. 2D. 0
极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = (\quad)$ A. 1 B. 1/2 C. 2 D. 0
题目解答
答案
要解决极限 $\boldsymbol{\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}}$，可以通过等价无穷小替换、三角恒等式变形或洛必达法则分析：
方法1：等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x$ 的等价无穷小为 $\boldsymbol{\frac{x^2}{2}}$（这是重要极限的结论，可通过泰勒展开或三角恒等式推导）。
将等价无穷小代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
方法2：三角恒等式变形 + 重要极限
利用三角恒等式 $1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$，对原式变形：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}$
为了构造重要极限 $\boldsymbol{\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1}$，对分母凑形：
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{4 \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^2} = \frac{2}{4} \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2$
令 $u = \frac{x}{2}$，当 $x \to 0$ 时 $u \to 0$，代入重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$：
$\frac{1}{2} \cdot \left( \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$
方法3：洛必达法则
当 $x \to 0$ 时，分子 $1 - \cos x \to 0$，分母 $x^2 \to 0$，满足0/0型不定式，可使用洛必达法则（对分子、分母分别求导后求极限）：
第一次求导：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$
此时仍为0/0型，再次使用洛必达法则（或利用重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$）：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
综上，$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \boldsymbol{\frac{1}{2}}$，对应选项 B。
解析
本题考查函数极限的计算，解题思路可以通过等价无穷小替换、三角恒等式变形或洛必达法则来求解。
方法1：等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x$ 的等价无穷小为 $\frac{x^2}{2}$。
将等价无穷小代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2}$
根据分式运算法则，分子分母同时约去 $x^2$，可得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
方法2：三角恒等式变形 + 重要极限
利用三角恒等式 $1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$，对原式变形：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}$
为了构造重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$，对分母凑形：
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{4 \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^2}$
根据分式运算法则，可将上式变形为：
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{4 \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^2} = \frac{2}{4} \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2$
令 $u = \frac{x}{2}$，当 $x \to 0$ 时 $u \to 0$，代入重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$：
$\frac{1}{2} \cdot \left( \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$
方法3：洛必达法则
当 $x \to 0$ 时，分子 $1 - \cos x \to 0$，分母 $x^2 \to 0$，满足 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可使用洛必达法则（对分子、分母分别求导后求极限）。
对分子 $1 - \cos x$ 求导，根据求导公式 $(\cos x)^\prime = -\sin x$，可得 $(1 - \cos x)^\prime = \sin x$；对分母 $x^2$ 求导，根据求导公式 $(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得 $(x^2)^\prime = 2x$。
则第一次求导后：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$
此时仍为 $\frac{0}{0}$ 型，再次使用洛必达法则（或利用重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$）：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$