[例7]在电源电压不超过200V,在 sim 240V 和超过240V三种情况下,-|||-某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2.假设电源电压X服从正态分布-|||-N(220,25^2),试求:-|||-(1)该电子元件损坏的概率α;-|||-(2)该电子元件损坏时,电源电压在 sim 240V 的概率β.

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，结合正态分布的概率计算。
解题思路：

1. 划分电压区间，将电源电压分为三个互斥事件$A_1$、$A_2$、$A_3$，分别对应不同损坏概率。
2. 计算各区间的概率：利用正态分布的标准化和标准正态分布表求出$P(A_1)$、$P(A_2)$、$P(A_3)$。
3. 全概率公式求总损坏概率$\alpha$，即各区间概率与对应损坏概率的加权和。
4. 贝叶斯公式求条件概率$\beta$，即损坏时属于$A_2$区间的概率。

关键点：

• 标准化转换：将电压值转化为标准正态变量$Z$。
• 互斥事件的全概率分解：确保各区间的概率之和为1。
• 贝叶斯公式的逆向推断：从结果反推条件概率。

事件定义与概率计算

1. 事件划分：

   • $A_1 = \{X \leq 200\}$
   • $A_2 = \{200 < X \leq 240\}$
   • $A_3 = \{X > 240\}$
   • $B = \{\text{电子元件损坏}\}$

2. 计算各区间的概率：

   • $P(A_1)$：
     $Z = \frac{200 - 220}{25} = -0.8 \implies P(A_1) = \Phi(-0.8) = 0.212$
   • $P(A_2)$：
     $Z_1 = \frac{200 - 220}{25} = -0.8, \quad Z_2 = \frac{240 - 220}{25} = 0.8$
     $P(A_2) = \Phi(0.8) - \Phi(-0.8) = 0.788 - 0.212 = 0.576$
   • $P(A_3)$：
     $P(A_3) = 1 - P(A_1) - P(A_2) = 1 - 0.212 - 0.576 = 0.212$

全概率公式求$\alpha$

$\alpha = P(B) = \sum_{i=1}^3 P(A_i)P(B|A_i)$
代入数据：
$\alpha = 0.212 \times 0.1 + 0.576 \times 0.001 + 0.212 \times 0.2 = 0.0642$

贝叶斯公式求$\beta$

$\beta = P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \frac{0.576 \times 0.001}{0.0642} \approx 0.009$