非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。A. 对B. 错

本题考查非齐次线性方程组有解的判定定理这一知识点。解题思路是依据线性代数中关于非齐次线性方程组解的判定的基本理论来判断该命题的正确性。

对于非齐次线性方程组 $AX = b$，其中 $A$ 是系数矩阵，$\overline{A}=(A|b)$ 是增广矩阵。
根据线性方程组解的判定定理：

• 当 $r(A)=r(\overline{A})$ 时，方程组 $AX = b$ 有解。这里 $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩，$r(\overline{A})$ 表示增广矩阵 $\overline{A}$ 的秩。
  • 若 $r(A)=r(\overline{A}) = n$（$n$ 为未知数的个数），则方程组有唯一解；
  • 若 $r(A)=r(\overline{A})\lt{}n$，则方程组有无穷多解。
• 当 $r(A)\neq r(\overline{A})$ 时，方程组 $AX = b$ 无解。

所以“非齐次线性方程组 $AX = b$ 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩”这一命题是正确的。