题目

四、设X_(1),X_(2),...,X_(n)是总体X的一个样本，overline(X),S^2分别为样本均值和样本方差，已知总体均值E(X)=mu，方差D(X)=sigma^2，求E(overline(X)),D(overline(X)),E(S^2).

四、设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是总体X的一个样本，$\overline{X},S^{2}$分别为样本均值和样本方差，已知总体均值$E(X)=\mu$，方差$D(X)=\sigma^{2}$，求$E(\overline{X})$,$D(\overline{X})$,$E(S^{2})$.

题目解答

答案

1. **求 $E(\overline{X})$** $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，利用期望线性性质： \[ E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu. \] 2. **求 $D(\overline{X})$** 利用方差性质（独立同分布）： \[ D(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}. \] 3. **求 $E(S^2)$** 样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，展开并求期望： \[ E(S^2) = \frac{1}{n-1} \left[ nE(X_i^2) - nE(\overline{X}^2) \right] = \frac{1}{n-1} \left[ n(\sigma^2 + \mu^2) - n\left(\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2\right) \right] = \sigma^2. \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{aligned} E(\overline{X}) &= \mu, \\ D(\overline{X}) &= \frac{\sigma^2}{n}, \\ E(S^2) &= \sigma^2. \end{aligned} } \]

解析

本题主要考查样本均值和样本方差的期望与方差的计算，解题的关键在于运用期望和方差的性质以及已知的总体均值和方差信息。

1. 求 $E(\overline{X})$

  • 首先明确样本均值的定义：$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。
  • 根据期望的线性性质：对于任意常数 $a$ 和随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$，有 $E(a\sum_{i = 1}^{n}X_i)=a\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$。
  • 因为 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 是总体 $X$的一个样本，所以 $E(X_i)=\mu$（$i = 1,2,\cdots,n$）。
    • 则 $E(\overline{X}) = E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i)$，根据期望线性性质可得 $E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)$。
    • 又因为 $E(X_i)=\mu$，所以 $\sum_{i=1}^n E(X_i)=n\mu$，那么 $E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$。

2. 求 $D(\overline{X})$

  • 同样根据方差的性质：对于相互独立的随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 和常数 $a$，有 $D(a\sum_{i = 1}^{n}X_i)=a^{2}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$。
  • 由于 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 相互独立，且 $D(X_i)=\sigma^{2}$（$i = 1,2,\cdots,n$）。
    • 那么 $D(\overline{X}) = D(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i)$，根据方差性质可得 $D(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i)$。
    • 因为 $D(X_i)=\sigma^{2}$，所以 $\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$。

3. 求 $E(S^2)$

  • 样本方差的定义为 $S^2 = \frac{1{n - 1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$。
  • 先对 $\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 进行展开：
    • $\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2=\sum_{i=1}^n (X_i^2 - 2X_i\overline{X}+\overline{X}^2)=\sum_{i=1}^n X_i^2-2\overline{X}\sum_{i=1}^n X_i + n\overline{X}^2$。
    • 因为 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，所以 $\sum_{i=1}^n X_i = n\overline{X}$，则 $\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2=\sum_{i=1}^n X_i^2-2n\overline{X}^2 + n\overline{X}^2=\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2$。
  • 所以 $E(S^2)=E[\frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2]=\frac{1}{n - 1}E(\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2)$。
  • 根据期望的线性性质 $E(A - B)=E(A)-E(B)$，可得 $E(S^2)=\frac{1}{n - 1}[E(\sum_{i=1}^n X_i^2)-nE(\overline{X}^2)]$。
  • 再根据期望的性质 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，可得 $E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$。
    • 已知 $E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^{2$，所以 $E(X_i^2)=\sigma^2+\mu^2$；$E(\overline{X})=\mu\mu$，$D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}$，则 $E(\overline{X}^2})=D(\overline{X})+[E(\overline{X})]^2=\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2$。
    • 那么 $E(\sum_{i=1}^n X_i^2)=\sum_{i=1}^n E(X_i^2)=n(\sigma^2+\mu^2)$。
    • 所以 $E(S^2)=\frac{1}{n - 1}[n(\sigma^2+\mu^2)-n(\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2)]$。
    • 展开式子得 $E(S^2)=\frac{1}{n - 1}(n\sigma^2 + n\mu^2-\sigma^2 - n\mu^2)$。
    • 化简可得 $E(S^2)=\frac{1}{n - 1}(n - 1)\sigma^2=\sigma^2$。