题目

星期六上午来到小客车陈列室的顾客人数X是一个随机变-|||-量,其分布未知,但知其期望 mu =18(lambda ), 标准差 =2.5 (人),试问X在8到-|||-28人之间的概率是多少?

题目解答

答案

解析

本题考查切比雪夫不等式的应用。解题思路如下：

  1. 首先明确切比雪夫不等式的内容：对于任意的随机变量 $X$，若 $E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^{2}$，则对于任意的正数 $\varepsilon$，有 $P(|X - \mu|\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}$，变形可得 $P(|X - \mu|\lt\varepsilon)\geqslant1-\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}$。
  2. 已知随机变量 $X$ 表示星期六上午来到小客车陈列室的顾客人数，期望 $E(X)=\mu = 18$ 人，标准差 $\sigma = 2.5$ 人。
  3. 要求 $P(8\lt X\lt 28)$，对不等式进行变形：
    • $P(8\lt X\lt 28)=P(8 - 18\lt X - 18\lt 28 - 18)$，根据期望 $E(X)=18$，即 $P(8\lt X\lt 28)=P(-10\lt X - E(X)\lt 10)$。
    • 由绝对值的性质可知 $P(-10\lt X - E(X)\lt 10)=P(|X - E(X)|\lt 10)$。
  4. 因为标准差 $\sigma = 2.5$，我们将 $P(|X - E(X)|\lt 10)$ 转化为以标准差为单位的形式。设 $\varepsilon$ 为一个正数，使得 $P(|X - E(X)|\lt 10)=P\left(\left|\frac{X - E(X)}{\sigma}\right|\lt\frac{10}{\sigma}\right)$，把 $\sigma = 2.5$ 代入可得 $\frac{10}{\sigma}=\frac{10}{2.5}=4$，即 $P(8\lt X\lt 28)=P\left(\left|\frac{X - E(X)}{\sigma}\right|\lt 4\right)$，也就是 $P(8\lt X\lt 28)=P(|X - E(X)|\lt 4\sigma)$。
  5. 令 $\varepsilon = 4\sigma$，根据切比雪夫不等式 $P(|X - \mu|\lt\varepsilon)\geqslant1-\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}$，将 $\varepsilon = 4\sigma$ 代入可得：
    • $P(8\lt X\lt 28)=P(|X - E(X)|\lt 4\sigma)\geqslant1-\frac{\sigma^{2}}{(4\sigma)^{2}}$。
    • 对 $1-\frac{\sigma^{2}}{(4\sigma)^{2}}$ 进行化简，$1-\frac{\sigma^{2}}{(4\sigma)^{2}}=1-\frac{\sigma^{2}}{16\sigma^{2}}=1 - \frac{1}{16}=\frac{15}{16}=0.9375\approx0.94$。