题目
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)， ……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.组距-|||-0.50-|||-0.42-|||-0.16-|||-0.12-|||-0.08-|||-0.04-|||-0.5 11.522.533.5445月均用水量(吨)（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)， ……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数.
题目解答
答案
解：（1）由频率分布直方图，可知月用水量在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）等的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
故1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
则估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.
（3）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，
所以2≤x＜2.5.
由0.50×(x-2)=0.5-0.48，
解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
解析
步骤 1：计算频率
根据频率分布直方图，我们可以计算出每个组的频率。频率等于组的宽度乘以直方图的高度。例如，对于[0，0.5)组，频率为0.08×0.5=0.04。同理，我们可以计算出其他组的频率。
步骤 2：求解a的值
由于频率分布直方图中所有组的频率之和应为1，我们可以根据已知的频率值求解a的值。已知的频率值之和为0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02=0.70。因此，剩余的频率值为1-0.70=0.30。由于a的组宽为0.5，因此a的值为0.30/0.5=0.60。
步骤 3：估计月均用水量不低于3吨的人数
根据频率分布直方图，我们可以计算出月均用水量不低于3吨的频率。该频率为0.06+0.04+0.02=0.12。因此，估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000。
步骤 4：估计居民月均用水量的中位数
中位数是将数据分成两部分的值，其中一半的数据小于中位数，另一半的数据大于中位数。根据频率分布直方图，我们可以计算出中位数所在的组。前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73，大于0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48，小于0.5。因此，中位数在第5组，即[2，2.5)。中位数的计算公式为：中位数=2+0.5×(0.5-0.48)/0.50=2.04。
根据频率分布直方图，我们可以计算出每个组的频率。频率等于组的宽度乘以直方图的高度。例如，对于[0，0.5)组，频率为0.08×0.5=0.04。同理，我们可以计算出其他组的频率。
步骤 2：求解a的值
由于频率分布直方图中所有组的频率之和应为1，我们可以根据已知的频率值求解a的值。已知的频率值之和为0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02=0.70。因此，剩余的频率值为1-0.70=0.30。由于a的组宽为0.5，因此a的值为0.30/0.5=0.60。
步骤 3：估计月均用水量不低于3吨的人数
根据频率分布直方图，我们可以计算出月均用水量不低于3吨的频率。该频率为0.06+0.04+0.02=0.12。因此，估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000。
步骤 4：估计居民月均用水量的中位数
中位数是将数据分成两部分的值，其中一半的数据小于中位数，另一半的数据大于中位数。根据频率分布直方图，我们可以计算出中位数所在的组。前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73，大于0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48，小于0.5。因此，中位数在第5组，即[2，2.5)。中位数的计算公式为：中位数=2+0.5×(0.5-0.48)/0.50=2.04。