题目
sigma^2=1.21，再任意抽查10个月，得到轻工产品月产值的百分比如下：31.31%，31.10%，32.16%，32.50%，29.66%，31.64%，30.00%，31.87%，31.03%，30.95%.问：在显著性水平alpha=0.05下，可否认为该地区轻工产品月产值占该地区工业产品总月产值百分比的平均数为32.50%？
$\sigma^{2}=1.21$，再任意抽查10个月，得到轻工产品月产值的百分比如下：
31.31%，31.10%，32.16%，32.50%，29.66%，
31.64%，30.00%，31.87%，31.03%，30.95%.
问：在显著性水平$\alpha=0.05$下，可否认为该地区轻工产品月产值占该地区工业产品总月产值百分比的平均数为32.50%？
题目解答
答案
计算样本均值：
\[
\overline{x} = \frac{1}{10} \sum x_i = 31.222
\]
已知 $\sigma = 1.1$，构造检验统计量：
\[
Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{31.222 - 32.50}{1.1 / \sqrt{10}} \approx -3.675
\]
双侧检验，$\alpha = 0.05$，临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。
因 $|Z| = 3.675 > 1.96$，拒绝原假设。
**结论：**
在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，认为该地区轻工产品月产值占工业产品总月产值百分比的平均数不为 32.50%。
\[
\boxed{
\text{不为 32.50\%}
}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值
计算样本均值 $\overline{x}$，即所有样本值的平均值。样本值为：31.31%，31.10%，32.16%，32.50%，29.66%，31.64%，30.00%，31.87%，31.03%，30.95%。
\[ \overline{x} = \frac{1}{10} \sum x_i = \frac{1}{10} (31.31 + 31.10 + 32.16 + 32.50 + 29.66 + 31.64 + 30.00 + 31.87 + 31.03 + 30.95) = 31.222 \]
步骤 2：构造检验统计量
构造检验统计量 $Z$，用于检验样本均值与假设的总体均值 $\mu_0$ 是否有显著差异。已知 $\sigma = 1.1$，样本量 $n = 10$，假设的总体均值 $\mu_0 = 32.50$。
\[ Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{31.222 - 32.50}{1.1 / \sqrt{10}} \approx -3.675 \]
步骤 3：确定临界值并进行检验
双侧检验，显著性水平 $\alpha = 0.05$，临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。比较 $|Z|$ 与临界值 $Z_{0.025}$。
\[ |Z| = 3.675 > 1.96 \]
由于 $|Z|$ 大于临界值，拒绝原假设，即认为样本均值与假设的总体均值有显著差异。
计算样本均值 $\overline{x}$，即所有样本值的平均值。样本值为：31.31%，31.10%，32.16%，32.50%，29.66%，31.64%，30.00%，31.87%，31.03%，30.95%。
\[ \overline{x} = \frac{1}{10} \sum x_i = \frac{1}{10} (31.31 + 31.10 + 32.16 + 32.50 + 29.66 + 31.64 + 30.00 + 31.87 + 31.03 + 30.95) = 31.222 \]
步骤 2：构造检验统计量
构造检验统计量 $Z$，用于检验样本均值与假设的总体均值 $\mu_0$ 是否有显著差异。已知 $\sigma = 1.1$，样本量 $n = 10$，假设的总体均值 $\mu_0 = 32.50$。
\[ Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{31.222 - 32.50}{1.1 / \sqrt{10}} \approx -3.675 \]
步骤 3：确定临界值并进行检验
双侧检验，显著性水平 $\alpha = 0.05$，临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。比较 $|Z|$ 与临界值 $Z_{0.025}$。
\[ |Z| = 3.675 > 1.96 \]
由于 $|Z|$ 大于临界值，拒绝原假设，即认为样本均值与假设的总体均值有显著差异。