设(X_1,X_2... X_n)是正态总体Xsim N(mu,sigma^2)的样本，样本方差为S^2（无偏），则统计量(n-1)S^2/sigma^2服从(）。A. 正态分布B. t分布C. chi^2分布D. F分布

本题考查正态总体样本方差的分布性质，解题的关键在于利用正态分布的性质以及卡方分布的定义来推导统计量$(n - 1)S^2 / \sigma^2$的分布。

步骤一：明确样本方差$S^2$的定义

已知样本方差$S^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，其中$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$是样本均值。

步骤二：对统计量$(n - 1)S^2 / \sigma^2$进行变形

将$S^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$代入$(n - 1)S^2 / \sigma^2$可得：
$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}=\frac{(n - 1)}{\sigma^2}\times\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$

步骤三：分析$X_i-\overline{X}$的分布

因为$(X_1,X_2,\cdots,X_n)$是正态总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$的样本，所以$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，且$X_i$与$\overline{X}$相互独立。
根据正态分布的性质，$X_i-\overline{X}$也服从正态分布，$E(X_i - \overline{X}) = E(X_i) - E(\overline{X}) = \mu - \mu = 0$，$D(X_i - \overline{X}) = D(X_i) + D(\overline{X})=\sigma^2+\frac{\sigma^2}{n}=\frac{n + 1}{n}\sigma^2$，即$X_i-\overline{X}\sim N(0,\frac{n + 1}{n}\sigma^2)$。
进一步标准化可得$\frac{X_i-\overline{X}}{\sqrt{\frac{n + 1}{n}\sigma^2}}\sim N(0,1)$。

步骤四：根据卡方分布的定义确定分布

由卡方分布的定义：若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_i^2\sim\chi^2(n)$。
对于$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}=\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma})^2$，可以看作是$n$个相互独立的标准正态分布变量的平方和，所以$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$服从自由度为$n - 1$的卡方分布，即$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$。