题目

10. (5.0分) 设X_(1),X_(2),...,X_(n)和Y_(1),Y_(2),...,Y_(n)都是来自总体Xsim N(mu,sigma^2)的样本，并且相互独立，overline(X)与overline(Y)是两个样本的样本均值，则(sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2)/(sum_(i=1)^n(Y_{i)-overline(Y))^2}sim____。(写出分布，并给出自由度)

10. (5.0分) 设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$和$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n}$都是来自总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的样本，并且相互独立，$\overline{X}$与$\overline{Y}$是两个样本的样本均值，则$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\overline{Y})^{2}}\sim$____。(写出分布，并给出自由度)

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，且相互独立。样本均值分别为 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$。由正态分布性质， \[ \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), \quad \frac{\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \overline{Y})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \] 两样本独立，故两卡方变量独立。则 \[ \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 / \sigma^2}{\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \overline{Y})^2 / \sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \overline{Y})^2} \sim F(n-1, n-1) \] **答案：** \[ \boxed{F(n-1, n-1)} \]

解析

本题主要考察抽样分布中$F$分布的定义及正态总体样本方差的性质，具体思路如下：

步骤1：回顾正态总体样本方差的分布

对于来自正态总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$的样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$，样本均值为$\overline{X}$，则样本修正方差的倍数服从卡方分布：
$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
其中自由度为$n-1$（因为样本均值$\overline{X}$约束了一个自由度）。

步骤2：两个独立卡方变量的比值服从$F$分布

题目中$X_1,\cdots,X_n$与$Y_1,\cdots,Y_n$相互独立，因此：
$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \quad \text{和} \quad \frac{\sum_{i=1}^n (Y_i - \overline{Y})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
且这两个卡方变量相互独立。

步骤3：化简比值得到$F$分布

根据$F$分布的定义：若$U\sim \chi^2(m)$，$V\sim \chi^2(k)$，且$U$与$V$独立，则：
$\frac{U/m}{V/k} \sim F(m,k)$
本题中$U=\frac{\sum (X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2}$，$m=n-1$；$V=\frac{\sum (Y_i - \overline{Y})^2}{\sigma^2}$，$k=n-1$。代入得：
$\frac{\sum (X_i - \overline{X})^2 / (n-1)}{\sum (Y_i - \overline{Y})^2 / (n-1)} = \frac{\sum (X_i - \overline{X})^2}{\sum (Y_i - \overline{Y})^2} \sim F(n-1,n-1)$