题目

设总体 X 的概率密度为 f(x; lambda) = } (lambda^2)/(x^3) e^-(x)/(lambda), & x > 0, 0, & x leq 0, .

设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x; \lambda) = \begin{cases} \frac{\lambda^2}{x^3} e^{-\frac{x}{\lambda}}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0, \end{cases}$ 其中 $\lambda > 0$ 是未知参数. 根据来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1, \ldots, X_n$, 求 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}$.

题目解答

答案

我们要求的是参数 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}$，给定总体 $X$ 的概率密度函数为： $$ f(x; \lambda) = \begin{cases} \frac{\lambda^2}{x^3} e^{-\frac{x}{\lambda}}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0, \end{cases} $$ 其中 $\lambda > 0$ 是未知参数。 --- ### 第一步：写出似然函数 设从总体 $X$ 中抽取了简单随机样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，且每个样本独立同分布。 似然函数 $L(\lambda)$ 是所有样本的联合密度函数，即： $$ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \lambda) $$ 由于 $X_i > 0$（因为密度函数只在 $x > 0$ 有定义），我们只需考虑每个 $X_i > 0$ 的情况。 所以： $$ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^2}{X_i^3} e^{-\frac{X_i}{\lambda}} = \left( \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^2}{X_i^3} \right) \cdot \prod_{i=1}^n e^{-\frac{X_i}{\lambda}} $$ 我们来分别计算： - $\prod_{i=1}^n \frac{\lambda^2}{X_i^3} = \lambda^{2n} \cdot \prod_{i=1}^n \frac{1}{X_i^3} = \lambda^{2n} \cdot \left( \prod_{i=1}^n X_i^{-3} \right)$ - $\prod_{i=1}^n e^{-\frac{X_i}{\lambda}} = e^{-\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{\lambda}} = e^{-\frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n X_i}$ 所以整个似然函数为： $$ L(\lambda) = \lambda^{2n} \cdot \left( \prod_{i=1}^n X_i^{-3} \right) \cdot e^{-\frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n X_i} $$ --- ### 第二步：写出对数似然函数 对数似然函数为： $$ \ell(\lambda) = \ln L(\lambda) = \ln\left( \lambda^{2n} \cdot \prod_{i=1}^n X_i^{-3} \cdot e^{-\frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n X_i} \right) $$ 利用对数性质： $$ \ell(\lambda) = \ln(\lambda^{2n}) + \ln\left( \prod_{i=1}^n X_i^{-3} \right) + \ln\left( e^{-\frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n X_i} \right) $$ $$ = 2n \ln \lambda - 3 \sum_{i=1}^n \ln X_i - \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n X_i $$ --- ### 第三步：对 $\lambda$ 求导并令导数为 0 对 $\ell(\lambda)$ 关于 $\lambda$ 求导： $$ \frac{d\ell}{d\lambda} = \frac{2n}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^n X_i $$ 令导数为 0，求极值点： $$ \frac{2n}{\lambda} - \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0 $$ 两边同时乘以 $\lambda^2$： $$ 2n \lambda - \sum_{i=1}^n X_i = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i $$ --- ### 第四步：得出最大似然估计量 所以，$\lambda$ 的最大似然估计量为： $$ \boxed{ \hat{\lambda} = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i } $$ --- ### 总结： - 似然函数由样本联合密度函数得出； - 对数似然函数便于求导； - 通过求导并令导数为 0，得到 $\lambda$ 的最大似然估计； - 最终结果为：$\boxed{ \hat{\lambda} = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i }$。

解析

考查要点：本题要求求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量，主要考查对最大似然估计法的理解和应用，涉及似然函数的构造、对数似然函数的求导以及极值求解。

解题核心思路：

  1. 构造似然函数：将样本联合密度函数表示为 $\lambda$ 的函数。
  2. 取对数简化计算：通过对数转换将乘积转化为求和，便于求导。
  3. 求导找极值：对对数似然函数求导并令导数为零，解方程得到估计量。
  4. 验证解的合理性：确保解满足实际意义（如 $\hat{\lambda} > 0$）。

破题关键点：

  • 正确展开似然函数：注意概率密度函数中 $\lambda$ 和 $x$ 的幂次关系。
  • 准确求导：特别注意负号和分母的处理，避免符号错误。
  • 方程变形：通过乘以 $\lambda^2$ 消去分母，简化方程求解过程。

第一步：构造似然函数

样本联合密度函数为：
$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^2}{X_i^3} e^{-\frac{X_i}{\lambda}} = \lambda^{2n} \cdot \left( \prod_{i=1}^n X_i^{-3} \right) \cdot e^{-\frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n X_i}.$

第二步：对数似然函数

取自然对数：
$\ell(\lambda) = 2n \ln \lambda - 3 \sum_{i=1}^n \ln X_i - \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n X_i.$

第三步：求导并解方程

对 $\lambda$ 求导：
$\frac{d\ell}{d\lambda} = \frac{2n}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^n X_i.$
令导数为零：
$\frac{2n}{\lambda} - \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0.$
两边乘以 $\lambda^2$：
$2n \lambda - \sum_{i=1}^n X_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \hat{\lambda} = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i.$

第四步：验证合理性

由于 $\sum_{i=1}^n X_i > 0$，故 $\hat{\lambda} > 0$，符合参数定义。