题目

67. (1.0分) 已知圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的高为____.

题目解答

答案

已知圆锥母线长 $ l = 20 $，母线与轴的夹角为 $ 30^\circ $。
在直角三角形中，母线为斜边，高为邻边，底面半径为对边。
利用余弦函数求高：
$\cos 30^\circ = \frac{h}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{20}$
解得：
$h = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

答案： $\boxed{10\sqrt{3}}$

解析

本题考查圆锥的相关知识以及三角函数的应用。解题思路是通过构建圆锥母线、轴和高所构成的直角三角形，利用三角函数关系来求解圆锥的高。

在圆锥中，母线、轴和高构成一个直角三角形。已知母线长$l = 20$，母线与轴的夹角为$30^{\circ}$。设圆锥的高为$h$。
根据三角函数的定义，在直角三角形中，$\cos\theta=\frac{邻边}{斜边}$（其中$\theta$为母线与轴的夹角），这里$\cos30^{\circ}=\frac{h}{l}$。
因为$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$l = 20$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{20}$。
通过交叉相乘求解$h$，可得$h = 20\times\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$。