下列结论正确的是 () .A.下列结论正确的是 () .B.下列结论正确的是 () .C.下列结论正确的是 () .D.下列结论正确的是 () .

考查要点：本题主要考查矩阵的基本性质，包括反对称矩阵、对称矩阵的定义及其性质，以及矩阵的分解定理。

解题核心思路：

1. 反对称矩阵的定义：满足 $A^T = -A$，且必为方阵，主对角线元素为0。
2. 对称矩阵的定义：满足 $A^T = A$，第 $i$ 行与第 $i$ 列元素对应相等。
3. 奇数阶反对称矩阵的行列式必为0，由行列式的性质推导。
4. 矩阵分解定理：任意矩阵可唯一分解为对称矩阵和反对称矩阵的和。

破题关键点：

• 明确各矩阵类型的定义及推论。
• 理解行列式在奇数阶反对称矩阵中的特殊性质。
• 熟悉矩阵分解的具体形式。

选项A

反对称矩阵一定是方阵，且主对角线元素全为0

• 定义：若 $A^T = -A$，则 $A$ 是反对称矩阵。
• 方阵性质：转置运算仅对方阵有意义，故反对称矩阵必为方阵。
• 主对角线元素：对任意 $i$，有 $A_{ii} = -A_{ii}$，解得 $A_{ii} = 0$。
  结论：正确。

选项B

对称矩阵的第 $i$ 行元素与第 $i$ 列元素对应相等

• 定义：若 $A^T = A$，则 $A$ 是对称矩阵。
• 元素关系：对任意 $i,j$，有 $A_{ij} = A_{ji}$，即第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于第 $j$ 行第 $i$ 列元素。
• 第 $i$ 行与第 $i$ 列：当 $j = i$ 时，第 $i$ 行元素与第 $i$ 列元素完全相等。
  结论：正确。

选项C

奇数阶反对称矩阵的行列式为0

• 行列式性质：对反对称矩阵 $A$，有 $|A| = |A^T| = |-A| = (-1)^n |A|$。
• 奇数阶情形：当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，故 $|A| = -|A|$，解得 $|A| = 0$。
  结论：正确。

选项D

任意矩阵可分解为对称矩阵和反对称矩阵的和

• 分解形式：设 $A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}$。
• 验证对称性：$\frac{A + A^T}{2}$ 是对称矩阵，$\frac{A - A^T}{2}$ 是反对称矩阵。
• 唯一性：分解方式唯一。
  结论：正确。