题目
400G.已知某试验室日用电量(单位:度) sim N((100)^circ ,(5)^2), 设每天用电量是相互独立的,求:-|||-(1)某日用电量超过110度的概率;-|||-(2)一周(7天)内至多只有1天日用电量超过110度的概率;-|||-(3)日供电量至少达到多少时,才能以0.95以上的概率保证实验室正常生产?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算某日用电量超过110度的概率
根据题目，$X\sim N(100, 5^2)$，即$X$服从均值为100，方差为25的正态分布。要计算某日用电量超过110度的概率，即$P(X > 110)$，首先需要将$X$标准化，即计算$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu = 100$，$\sigma = 5$。因此，$Z = \frac{110 - 100}{5} = 2$。根据标准正态分布表，$P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$。
步骤 2：计算一周内至多只有1天日用电量超过110度的概率
设$p = P(X > 110) = 0.0228$，则一周内至多只有1天日用电量超过110度的概率为$P(0 \text{天} \text{或} 1 \text{天}) = P(0 \text{天}) + P(1 \text{天})$。其中，$P(0 \text{天}) = (1 - p)^7$，$P(1 \text{天}) = C_7^1 p (1 - p)^6$。因此，$P(0 \text{天} \text{或} 1 \text{天}) = (1 - 0.0228)^7 + 7 \times 0.0228 \times (1 - 0.0228)^6 = 0.9899$。
步骤 3：计算日供电量至少达到多少时，才能以0.95以上的概率保证实验室正常生产
设日供电量至少为$w$，则$P(X \leq w) \geq 0.95$。根据标准正态分布表，$P(Z \leq 1.65) = 0.95$，因此$Z = \frac{w - 100}{5} = 1.65$，解得$w = 100 + 1.65 \times 5 = 108.25$。
根据题目，$X\sim N(100, 5^2)$，即$X$服从均值为100，方差为25的正态分布。要计算某日用电量超过110度的概率，即$P(X > 110)$，首先需要将$X$标准化，即计算$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu = 100$，$\sigma = 5$。因此，$Z = \frac{110 - 100}{5} = 2$。根据标准正态分布表，$P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$。
步骤 2：计算一周内至多只有1天日用电量超过110度的概率
设$p = P(X > 110) = 0.0228$，则一周内至多只有1天日用电量超过110度的概率为$P(0 \text{天} \text{或} 1 \text{天}) = P(0 \text{天}) + P(1 \text{天})$。其中，$P(0 \text{天}) = (1 - p)^7$，$P(1 \text{天}) = C_7^1 p (1 - p)^6$。因此，$P(0 \text{天} \text{或} 1 \text{天}) = (1 - 0.0228)^7 + 7 \times 0.0228 \times (1 - 0.0228)^6 = 0.9899$。
步骤 3：计算日供电量至少达到多少时，才能以0.95以上的概率保证实验室正常生产
设日供电量至少为$w$，则$P(X \leq w) \geq 0.95$。根据标准正态分布表，$P(Z \leq 1.65) = 0.95$，因此$Z = \frac{w - 100}{5} = 1.65$，解得$w = 100 + 1.65 \times 5 = 108.25$。