3/45单选题(2分) 极限lim_(xto0)(xsin(1)/(x)-(1)/(x)sin x)的结果是()A. 0B. 1C. -1D. 不存在

考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是涉及无穷小量与有界函数乘积、等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：将原式拆分为两个部分分别求极限，再相加结果。关键点在于：

1. 无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小；
2. 利用等价无穷小替换简化表达式。

破题关键：

• 第一部分 $x \sin \frac{1}{x}$ 中，$\sin \frac{1}{x}$ 有界，$x \to 0$，故极限为 $0$；
• 第二部分 $-\frac{1}{x} \sin x$ 中，$\sin x \sim x$，替换后直接化简。

将原式分解为两部分求极限：

第一部分：$x \sin \frac{1}{x}$

• 当 $x \to 0$ 时，$\sin \frac{1}{x}$ 的取值范围始终在 $[-1, 1]$ 内，即有界；
• $x \to 0$ 是无穷小量，因此 无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小；
• 结论：$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。

第二部分：$-\frac{1}{x} \sin x$

• 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$（等价无穷小替换）；
• 代入得：$-\frac{1}{x} \cdot x = -1$；
• 结论：$\lim_{x \to 0} -\frac{1}{x} \sin x = -1$。

合并结果

• 原式极限为两部分之和：$0 + (-1) = -1$。