设总体 X sim N(2,4), X_1, X_2, ..., X_9 为其样本, overline(X) 为样本均值, 则下列统计量中服从标准正态分布的是 ()A. overline(X)B. (3)/(2)(overline(X)-2)C. (3)/(4)(overline(X)-2)D. (9)/(2)(overline(X)-2)

考查要点：本题主要考查样本均值的分布及标准化变换的应用，需要掌握正态分布下样本均值的性质以及如何将其转化为标准正态分布。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：已知总体服从正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X}$的分布为$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
2. 标准化变换：将样本均值$\overline{X}$通过公式$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}}$转化为标准正态分布，其中$\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

破题关键点：

• 正确计算样本均值的标准差$\sigma_{\overline{X}} = \frac{2}{3}$。
• 代入标准化公式后，系数应为$\frac{3}{2}$，对应选项B。

已知总体$X \sim N(2, 4)$，即$\mu = 2$，$\sigma^2 = 4$，$\sigma = 2$。样本容量$n = 9$，样本均值$\overline{X}$的分布为：
$\overline{X} \sim N\left(2, \frac{4}{9}\right)$

标准化过程：

1. 计算样本均值的标准差：
   $\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$
2. 构造标准正态变量：
   $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{\overline{X} - 2}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(\overline{X} - 2)$
   因此，$\frac{3}{2}(\overline{X} - 2)$服从标准正态分布$N(0, 1)$，对应选项B。