题目
4.设总体X服从指数分布e(λ)，概率密度为f(x;λ)=}λe^-λx,x>00,x≤0，求参数的矩估计和最大似然估计值
4.设总体X服从指数分布e(λ)，概率密度为$f(x;λ)=\begin{cases}λe^{-λx},x>0\\0,x≤0\end{cases}$，其中λ>0为未知参数，如果取得样本观测值为$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，求参数的矩估计和最大似然估计值
题目解答
答案
**矩估计：**
总体期望 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，令样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{\lambda}$，解得
$$
\hat{\lambda}_{\text{矩}} = \frac{1}{\overline{X}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}.
$$
**最大似然估计：**
似然函数 $L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i}$，取对数并求导得
$$
\frac{d \ln L(\lambda)}{d \lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i = 0,
$$
解得
$$
\hat{\lambda}_{\text{MLE}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{1}{\overline{x}}.
$$
**答案：**
$$
\boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}} \quad \text{或} \quad \boxed{\frac{1}{\overline{x}}}
$$
解析
本题主要考查参数估计中的矩估计和最大似然估计的方法。解题思路是先根据矩估计的原理，利用总体期望与样本均值的关系求出参数的矩估计值；再根据最大似然估计的原理，构造似然函数，通过取对数和求导的方法求出参数的最大似然估计值。
矩估计
- 首先求总体 $X$ 的期望 $E(X)$：
已知总体 $X$ 服从指数分布 $e(\lambda)$，其概率密度为 $f(x;\lambda)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x > 0\\0,&x\leq0\end{cases}$，根据期望的定义 $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$，可得：
$\begin{align*}E(X)&=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx\\\end{align*}$
利用分部积分法，设 $u = x$，$dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$，则 $du = dx$，$v=-e^{-\lambda x}$。
根据分部积分公式 $\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，有：
$\begin{align*}E(X)&=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda x}dx\\\end{align*}$
对于 $\lim_{x\rightarrow+\infty}-xe^{-\lambda x}$，使用洛必达法则，$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x}{e^{\lambda x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-1}{\lambda e^{\lambda x}} = 0$，当 $x = 0$ 时，$-xe^{-\lambda x}=0$。
而 $\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda x}dx=\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty}=\frac{1}{\lambda}$，所以 $E(X)=\frac{1}{\lambda}$。 - 然后令样本均值 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$ 等于总体期望 $E(X)$：
即 $\overline{X}=\frac{1}{\lambda}$，解得 $\hat{\lambda}_{\text{矩}}=\frac{1}{\overline{X}}=\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}$。
最大似然估计
- 构造似然函数 $L(\lambda)$：
似然函数是样本 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的联合概率密度，因为样本是相互独立的，所以 $L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_{i};\lambda)$。
已知 $f(x_{i};\lambda)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x_{i}},&x_{i}>0\\0,&x_{i}\leq0\end{cases}$，则 $L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}\lambda e^{-\lambda x_{i}}=\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}$，其中 $x_{i}>0(i = 1,2,\cdots,n)$。 - 对似然函数取对数：
$\ln L(\lambda)=\ln(\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_{i}})=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$。 - 求 $\ln L(\lambda)$ 关于 $\lambda$ 的导数：
$\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$。 - 令导数为 0 求解 $\lambda$：
令 $\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=0$，即 $\frac{n}{\lambda}-\sum_{i = 1}^{n}x_{i}=0$，移项可得 $\frac{n}{\lambda}=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，解得 $\hat{\lambda}_{\text{MLE}}=\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}=\frac{1}{\overline{x}}$。