题目
4.设总体X服从指数分布e(λ)，概率密度为f(x;λ)=}λe^-λx,x>00,x≤0，求参数的矩估计和最大似然估计值
4.设总体X服从指数分布e(λ)，概率密度为$f(x;λ)=\begin{cases}λe^{-λx},x>0\\0,x≤0\end{cases}$，其中λ>0为未知参数，如果取得样本观测值为$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，求参数的矩估计和最大似然估计值
题目解答
答案
**矩估计：**
总体期望 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，令样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{\lambda}$，解得
$$
\hat{\lambda}_{\text{矩}} = \frac{1}{\overline{X}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}.
$$
**最大似然估计：**
似然函数 $L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i}$，取对数并求导得
$$
\frac{d \ln L(\lambda)}{d \lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i = 0,
$$
解得
$$
\hat{\lambda}_{\text{MLE}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{1}{\overline{x}}.
$$
**答案：**
$$
\boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}} \quad \text{或} \quad \boxed{\frac{1}{\overline{x}}}
$$