题目

一元线性回归分析的基本步骤为（ ）。A. 建立回归方程→估计方程参数→检验回归模型和参数的显著性→检验回归方程的拟合优度→残差分析B. 建立回归方程→估计方程参数→检验回归模型和参数的显著性→检验回归方程的拟合优度→残差分析→回归预测C. 建立回归方程→估计方程参数→检验回归方程的拟合优度→检验回归模型和参数的显著性→回归预测→残差分析D. 建立回归方程→估计方程参数→检验回归方程的拟合优度→检验回归模型和参数的显著性→残差分析→回归预测

一元线性回归分析的基本步骤为（ ）。

A. 建立回归方程→估计方程参数→检验回归模型和参数的显著性→检验回归方程的拟合优度→残差分析

B. 建立回归方程→估计方程参数→检验回归模型和参数的显著性→检验回归方程的拟合优度→残差分析→回归预测

C. 建立回归方程→估计方程参数→检验回归方程的拟合优度→检验回归模型和参数的显著性→回归预测→残差分析

D. 建立回归方程→估计方程参数→检验回归方程的拟合优度→检验回归模型和参数的显著性→残差分析→回归预测

题目解答

答案

B. 建立回归方程→估计方程参数→检验回归模型和参数的显著性→检验回归方程的拟合优度→残差分析→回归预测

解析

本题考查一元线性回归分析的基本步骤相关知识点。解题思路是需要明确一元线性回归分析从开始到最终应用的完整流程，按照逻辑顺序依次分析每个步骤。

下面详细阐述一元线性回归分析的基本步骤：

  1. 建立回归方程：
    首先要根据实际问题和数据特点，确定自变量 $x$ 和因变量 $y$ 之间的线性关系，建立一元线性回归方程的形式为 $\hat{y}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x$，其中 $\hat{y}$ 是因变量 $y$ 的估计值，$\hat{\beta}_{0}$ 是截距的估计值，$\hat{\beta}_{1}$ 是斜率的估计值。
  2. 估计方程参数：
    通常使用最小二乘法来估计回归方程中的参数 $\hat{\beta}_{0}$ 和 $\hat{\beta}_{1}$。最小二乘法的原理是使残差平方和 $Q(\beta_{0},\beta_{1})=\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i})^{2}$ 达到 达到最小。通过对 $Q(\beta_{0},\beta_{1})$ 分别关于 $\beta_{0}$ 和 $\beta_{1}$ 求偏导数，并令偏导数为 0，得到方程组：
    $\begin{cases}\frac{\partial Q}{\partial\beta_{0}}=-2\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i}) = 0\\\frac{\partial Q}{\partial\beta_{1}}=-2\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i})x_{i}=0\end{cases}$
    解这个方程组可以得到 $\hat{\beta}_{0}$ 和 $\hat{\beta}_{1}$ 的估计值。
  3. 检验回归模型和参数的显著性：
    • 对回归模型的显著性进行检验，常用的方法是 $F$ 检验。原假设 $H_{0}:\beta_{1}=0$，备择假设 $H_{1}:\beta_{1}\neq0$。计算 $F$ 统计量 $F=\frac{SSR/1}{SSE/(n - 2)}$，其中 $SSR=\sum_{i = 1}^{n}(\hat{y}_{i}-\bar{y})^{2}$ 是回归平方和，$SSE=\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}$ 是残差平方和，$n$ 是样本容量。根据给定的显著性水平 $\alpha$，查 $F$ 分布表得到临界值 $F_{\alpha}(1,n - 2)$，若 $F>F_{\alpha}(1,n - 2)$，则拒绝原假设，认为回归模型是显著的。
    • 对回归参数的显著性进行检验，常用的方法是 $t$ 检验。原假设 $H_{0}:\beta_{1}=0$，备择假设 $H_{1}:\beta_{1}\neq0$。计算 $t$ 统计量 $t=\frac{\hat{\beta}_{1}}{S_{\hat{\beta}_{1}}}$，其中 $S_{\hat{\beta}_{1}}$ 是 $\hat{\beta}_{1}$ 的标准差。根据给定的显著性水平 $\alpha$，查 $t$ 分布表得到临界值 $t_{\alpha/2}(n - 2)$，若 $|t|>t_{\alpha/2}(n - 2)$，则拒绝原假设，认为回归参数 $\beta_{1}$ 是显著的。
  4. 检验回归方程的拟合优度：
    常用的指标是决定系数 $R^{2}$，其计算公式为 $R^{2}=\frac{SSR}{SST}$，其中 $SST=\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^{2}$ 是总离差平方和。$R^{2}$ 的取值范围是 $[0,1]$，$R^{2}$ 越接近 1，说明回归方程对样本数据的拟合程度越好。
  5. 残差分析：
    残差是指观测值 $y_{i}$ 与回归值 $\hat{y}_{i}$ 之间的差值 $e_{i}=y_{i}-\hat{y}_{i}$。通过分析残差的分布情况，可以检验回归模型的假设是否如)是否成立，如误差项的独立性、正态性和方差齐性等。常见的残差分析方法有绘制残差图等。
  6. 回归预测：
    在通过前面的步骤确定回归模型是有效的之后，可以利用建立的回归方程对因变量 $y$ 的值进行预测。可以进行点预测和区间预测。点预测就是将自变量 $x_{0}$ 代入回归方程得到 $\hat{y}_{0}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x_{0}$；区间预测则是在一定的置信水平下，给出因变量 $y_{0}$ 的预测区间。